giải bài này giúp em với ạ

Để tính các đạo hàm riêng cấp 2 và vi phân của hàm số \( z = e^{x^2 + y^3} \sin^2 x \), ta thực hiện các bước sau:

### Đạo hàm riêng cấp 1
1. Đạo hàm riêng theo x:
\[
\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} \left( e^{x^2 + y^3} \sin^2 x \right)
\]
Sử dụng quy tắc tích:
\[
u = e^{x^2 + y^3}, \quad v = \sin^2 x
\]
\[
\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial u}{\partial x} v + u \frac{\partial v}{\partial x}
\]
Tính các đạo hàm:
\[
\frac{\partial u}{\partial x} = e^{x^2 + y^3} \cdot 2x
\]
\[
\frac{\partial v}{\partial x} = 2 \sin x \cos x = \sin(2x)
\]
Thay vào công thức:
\[
\frac{\partial z}{\partial x} = (2x e^{x^2 + y^3}) \sin^2 x + e^{x^2 + y^3} \sin(2x)
\]

2. Đạo hàm riêng theo y:
\[
\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} \left( e^{x^2 + y^3} \sin^2 x \right)
\]
Chỉ có thành phần \( e^{x^2 + y^3} \) phụ thuộc vào \( y \):
\[
\frac{\partial z}{\partial y} = e^{x^2 + y^3} \cdot 3y^2 \sin^2 x
\]

### Đạo hàm riêng cấp 2
1. Đạo hàm riêng cấp 2 theo x:
\[
\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{\partial z}{\partial x} \right)
\]
Tính đạo hàm của \(\frac{\partial z}{\partial x}\):
Sử dụng quy tắc tích cho hai phần:
- Phần đầu: \( 2x e^{x^2 + y^3} \sin^2 x \)
- Phần thứ hai: \( e^{x^2 + y^3} \sin(2x) \)

Phần đầu:
\[
\frac{\partial}{\partial x} \left( 2x e^{x^2 + y^3} \sin^2 x \right)
\]

Phần thứ hai:
\[
\frac{\partial}{\partial x} \left( e^{x^2 + y^3} \sin(2x) \right)
\]
Kết hợp kết quả lại.

2. Đạo hàm riêng cấp 2 theo y:
\[
\frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = \frac{\partial}{\partial y} \left( 3y^2 e^{x^2 + y^3} \sin^2 x \right)
\]
Tính tương tự như trên.

### Vi phân
Vi phân của hàm \( z \):
\[
dz = \frac{\partial z}{\partial x} dx + \frac{\partial z}{\partial y} dy
\]
Thay các giá trị của các đạo hàm vào biểu thức trên để có vi phân của hàm \( z \).