xác định parabol y = ax^2 + bx + c có trục đối xứng là đường thẳng x = 1, cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 1 và chỉ có một giao điểm với trục hoành

Để xác định parabol có dạng y = ax^2 + bx + c với các điều kiện đã cho, ta tiến hành như sau:

1. Trục đối xứng:
Parabol có trục đối xứng là đường thẳng x = 1, tức là giá trị x của đỉnh parabol sẽ là 1. Với dạng tổng quát y = ax^2 + bx + c, trục đối xứng của parabol được xác định bởi công thức x = -b/(2a). Từ điều này, ta có:

-1 = -b/(2a) => b = 2a.

2. Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 1:
Khi x = 0 thì y = c. Điều kiện cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 1 cho ta rằng:

c = 1.

3. Chỉ có một giao điểm với trục hoành:
Giao điểm của parabol với trục hoành được xác định khi y = 0, tức là ta giải phương trình ax^2 + bx + c = 0. Để parabol chỉ có một giao điểm với trục hoành, phương trình này cần có duy nhất một nghiệm, nghĩa là có Delta (Δ) bằng 0. Công thức delta là:

Δ = b^2 - 4ac.

Với b = 2a và c = 1, ta thay vào công thức để tìm Δ:

Δ = (2a)^2 - 4a(1)
= 4a^2 - 4a.

Để có một nghiệm duy nhất, ta yêu cầu Δ = 0:

4a^2 - 4a = 0
=> 4a(a - 1) = 0.

Từ đây, ta có hai trường hợp: a = 0 hoặc a = 1. Tuy nhiên, nếu a = 0, thì phương trình trở thành một đường thẳng chứ không phải là parabol. Do đó, ta chọn a = 1.

4. Xác định b và c:
Với a = 1, ta đã tìm được:

b = 2a = 2(1) = 2,
c = 1.

Tóm lại, ta có parabol y = 1x^2 + 2x + 1, hay viết lại là:

y = x^2 + 2x + 1.

Cuối cùng, kiểm tra lại:

- Trục đối xứng là x = 1 (đúng).
- Cắt trục tung tại y = 1 (đúng, khi x = 0, y = 1).
- Giao điểm với trục hoành: giải phương trình x^2 + 2x + 1 = 0, nhận được nghiệm x = -1, nên chỉ có một giao điểm (đúng).

Vậy parabol cần tìm là:

y = x^2 + 2x + 1.