cho x+y  $geq$ 4 Tìm max 1/x + 1/y

Để giải bài toán tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \) dưới điều kiện \( x + y \geq 4 \), chúng ta có thể bắt đầu bằng cách sử dụng một số phép biến đổi đại số và áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz hoặc quan hệ bất biến giữa các biến.

Đầu tiên, từ điều kiện \( x + y \geq 4 \), chúng ta có thể đặt \( y = 4 - x \). Khi đó, biểu thức cần tối đa hóa trở thành:

\[
\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{x} + \frac{1}{4 - x}
\]

Ta sẽ xét hàm số \( f(x) = \frac{1}{x} + \frac{1}{4 - x} \) trong khoảng \( (0, 4) \).

Để tìm cực trị của hàm số \( f(x) \), ta tính đạo hàm:

\[
f'(x) = -\frac{1}{x^2} + \frac{1}{(4 - x)^2}
\]

Đặt đạo hàm bằng 0 để tìm các điểm cực trị:

\[
-\frac{1}{x^2} + \frac{1}{(4 - x)^2} = 0 \implies \frac{1}{x^2} = \frac{1}{(4 - x)^2}
\]

Giải phương trình này, ta có:

\[
(4 - x)^2 = x^2
\]

Khai triển và rút gọn:

\[
16 - 8x + x^2 = x^2 \implies 16 - 8x = 0 \implies x = 2
\]

Khi \( x = 2 \), ta có \( y = 4 - x = 2 \). Khi đó:

\[
\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1
\]

Để kiểm tra tính chất của cực trị, ta xét dấu của đạo hàm \( f'(x) \):

- Khi \( x < 2 \): \( f'(x) > 0 \) (hàm tăng)
- Khi \( x > 2 \): \( f'(x) < 0 \) (hàm giảm)

Điều này cho thấy tại \( x = 2 \), \( f(x) \) đạt cực đại. Vậy giá trị lớn nhất của \( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \) dưới điều kiện \( x + y \geq 4 \) là \( 1 \).

Cuối cùng, vì \( x + y \) phải lớn hơn hoặc bằng 4, nếu \( x \) và \( y \) có giá trị lớn hơn 2, thì \( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \) sẽ giảm, vì \( x \) và \( y \) cùng lớn hơn hoặc bằng 2 sẽ làm cho 1/x và 1/y nhỏ hơn 1.

Do đó, ta kết luận rằng giá trị cực đại của biểu thức \( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \) là:

Max \( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 1 \) với \( x = 2 \) và \( y = 2 \).