Cho x-y=5 và xy=20.tính x³-y³

Để tính \( x^3 - y^3 \) từ hai phương trình \( x - y = 5 \) và \( xy = 20 \), ta có thể sử dụng công thức phân tích hạng tử.

Công thức cho \( x^3 - y^3 \) là:

\[
x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)
\]

Bước đầu tiên là tìm giá trị của \( x - y \), ta đã có:

\[
x - y = 5
\]

Tiếp theo, ta cần tìm \( x^2 + xy + y^2 \). Để làm điều này, chúng ta sẽ sử dụng các thông tin có sẵn.

Chúng ta biết rằng:

\[
xy = 20
\]

Để tính \( x^2 + y^2 \), ta sẽ dùng công thức liên kết giữa \( x + y \) và \( xy \):

\[
x^2 + y^2 = (x + y)^2 - 2xy
\]

Đầu tiên, ta cần tìm \( x + y \). Từ \( x - y = 5 \), ta có thể đặt:

\(
x = y + 5
\)

Gọi \( y = t \), thì:

\[
x = t + 5
\]

Thay vào phương trình \( xy = 20 \):

\[
(t + 5)t = 20
\]
\[
t^2 + 5t - 20 = 0
\]

Giải phương trình bậc 2 này bằng công thức nghiệm:

\[
t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-5 \pm \sqrt{25 + 80}}{2} = \frac{-5 \pm 5\sqrt{5}}{2}
\]

Vậy các nghiệm của \( t \) là:

\[
t_1 = \frac{-5 + 5\sqrt{5}}{2}, \quad t_2 = \frac{-5 - 5\sqrt{5}}{2}
\]

Từ đó, tìm được \( x \):

\[
x_1 = t_1 + 5 = \frac{-5 + 5\sqrt{5}}{2} + \frac{10}{2} = \frac{5 + 5\sqrt{5}}{2} = \frac{5(1 + \sqrt{5})}{2}
\]

\[
x_2 = t_2 + 5 = \frac{-5 - 5\sqrt{5}}{2} + \frac{10}{2} = \frac{5 - 5\sqrt{5}}{2} = \frac{5(1 - \sqrt{5})}{2}
\]

Giờ cần tính \( x + y \):

\[
x + y = (y + 5) + y = 2y + 5
\]

Giả sử \( y = \frac{-5 + 5\sqrt{5}}{2} \):

\[
x + y = 5 + \frac{-5 + 5\sqrt{5}}{2} + \frac{-5 + 5\sqrt{5}}{2} = 5 + \frac{-10 + 10\sqrt{5}}{2} = 5 + 5(\sqrt{5} - 1) = 5\sqrt{5}
\]

Bây giờ chúng ta đã có \( x + y \) và \( xy \):

\[
x + y = 5\sqrt{5}, \quad xy = 20
\]

Thay vào công thức:

\[
x^2 + y^2 = (x + y)^2 - 2xy = (5\sqrt{5})^2 - 2 \times 20
\]
\[
= 125 - 40 = 85
\]

Bây giờ thế vào công thức tính \( x^2 + xy + y^2 \):

\[
x^2 + xy + y^2 = x^2 + y^2 + xy = 85 + 20 = 105
\]

Cuối cùng, tính \( x^3 - y^3 \):

\[
x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2) = 5 \times 105 = 525
\]

Vậy giá trị của \( x^3 - y^3 \) là \( 525 \).