cho hình thang ABCD , AD//BC , AD>BC có đường chéo AC vuông góc cạnh bên CD . AC là phân giác của BAD và góc D = 60 độ . Gọi O là giao của AB và DC . CM : ABCD là hình thang cân

Để chứng minh hình thang ABCD là hình thang cân, ta xem xét các thông tin đã cho trong đề bài:

1. Hình thang ABCD có AD // BC và AD > BC.
2. Đường chéo AC vuông góc với cạnh bên CD.
3. AC là phân giác của góc BAD.
4. Góc D = 60 độ.

Ta sẽ dùng các thuộc tính của hình thang và các góc để chứng minh rằng các cạnh bên AB và CD bằng nhau.

Đầu tiên, từ thông tin rằng AC vuông góc với CD, ta biết rằng góc ACD = 90 độ. Hơn nữa, AC là phân giác của góc BAD, điều này có nghĩa là:

- Góc CAB = góc DAB.

Gọi góc CAB = x, thì góc DAB cũng là x. Ta có:

- Góc ADB = góc DAB + góc D = x + 60 độ.

Vì AC là phân giác của góc BAD, nên các góc ở điểm A cũng có mối quan hệ như sau:

Góc BAC + Góc ACD = 180 độ, tức là x + 90 độ = 180 độ, từ đó x = 90 - góc ACD = 90 - 90 = 0 (phân tích vào thông tin là không có giá trị).

Tiếp theo, từ thông tin rằng góc D = 60 độ, ta có thể tính được các góc còn lại trong tam giác ACD. Trong tam giác ACD, ta cũng có:

- Tổng các góc trong tam giác là 180 độ, nên ta có:

Góc DAC + góc ACD + góc DCA = 180 độ, trong đó:

- Góc DAC = góc DAB và góc DCA = góc ACB.

Nhờ rằng AC vuông góc với CD, ta có góc ACD = 90 độ, từ đó:

góc DAC + 90 độ + góc DCA = 180 độ
=> góc DAC + góc DCA = 90 độ.

Tuy nhiên, bởi vì AC cũng là phân giác, mà phân giác thì chia đều các góc xung quanh, vì vậy góc DAC = góc DCA = 30 độ (do góc D = 60 độ). Điều này cho thấy rằng:

Góc DAB = Góc CAB = 30 độ.

Đến đây chúng ta có:

- góc DAB = góc CAB,
- góc ADB = góc CDB (cùng là 60 độ).

Và với AC là phân giác, ta có thể dễ dàng kết luận rằng AB = CD do tính chất tương ứng của các góc (góc A = góc C và góc B = góc D). Do đó, khi hai cạnh bên bằng nhau (AB = CD) và AD // BC, hình thang ABCD là hình thang cân.

Từ các lý lẽ và phân tích trên, ta có thể kết luận rằng hình thang ABCD là hình thang cân.