cho tam giác ABC vuông ở A . gọi e là trung điểm đoạn thẳng BC , gọi D là điểm đói xứng của A qua E . Chứng minh tứ giác ABCD là hình chữ nhật

Chúng ta có tam giác ABC vuông tại A. Gọi E là trung điểm của đoạn thẳng BC. Gọi D là điểm đối xứng của A qua E.

Để chứng minh tứ giác ABCD là hình chữ nhật, chúng ta cần chứng minh hai yếu tố: tất cả các góc của tứ giác phải bằng 90 độ và cạnh đối diện của nó phải song song và bằng nhau.

1. Tính chất của điểm E: E là trung điểm của BC, nên theo định nghĩa, ta có:
- BE = EC.

2. Tính chất của điểm D: Vì D là điểm đối xứng của A qua E, nên ta có:
- AE = ED.
(Mà AE là khoảng cách từ A đến E, ED cũng là khoảng cách từ E đến D.)

3. Chứng minh các góc:
- Vì tam giác ABC vuông tại A, ta có góc CAB = 90 độ.
- Xét tứ giác ABCD, ta cần chứng minh các góc DAB, ABC, BCD, và CDA đều bằng 90 độ.
- Ta có:
- DAB = DAE + EAB = 90 độ (vì E nằm trên BC).
- ABC = 90 độ (bởi vì tam giác ABC vuông tại A).
- BCD = BAE + AEC = 90 độ (vì E nằm trên đoạn thẳng BC và BE = EC).
- CDA = DAE + EAD = 90 độ (tương tự như trên).

4. Chứng minh các cạnh:
- Chúng ta có AE = ED và BE = EC từ bước trên.
- AB = AC (vì ABC là tam giác vuông tại A với E là trung điểm, do đó AB và AC có cùng chiều).
- Cạnh AB và DC đều vuông góc với cạnh AD và BC (từ các góc đã chứng minh là 90 độ).

Từ các yếu tố trên, chúng ta có thể kết luận rằng tứ giác ABCD có các góc vuông và các cặp cạnh đối diện song song. Do đó, tứ giác ABCD là hình chữ nhật.