cho a/b=c/d ( b,d khác 0 , c 0 bằng d , c+2d ko = 0) cm`(a^2025 - b^2025)/(c^2025 - d^2025) = ((a+2b)/(c+2d))^2025`

Ta cần chứng minh rằng với điều kiện cho trước, ta có

\[
\frac{a^{2025} - b^{2025}}{c^{2025} - d^{2025}} = \left(\frac{a + 2b}{c + 2d}\right)^{2025}.
\]

Đầu tiên, ta biết rằng từ tỉ số đã cho \( \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \), ta có thể viết lại:

\[
a = \frac{c}{d} b.
\]

Tiếp theo, xét điều kiện \( c \neq 0 \) và đặt \( k = \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \), từ đó ta có:

\[
a = kb, \quad c = kd.
\]

Bây giờ ta thay \( a \) và \( c \) vào biểu thức cần chứng minh. Đầu tiên, ta tính \( a^{2025} - b^{2025} \):

\[
a^{2025} - b^{2025} = (kb)^{2025} - b^{2025} = b^{2025}(k^{2025} - 1).
\]

Tương tự cho \( c^{2025} - d^{2025} \):

\[
c^{2025} - d^{2025} = (kd)^{2025} - d^{2025} = d^{2025}(k^{2025} - 1).
\]

Bây giờ, ta tính tỉ số giữa \( a^{2025} - b^{2025} \) và \( c^{2025} - d^{2025} \):

\[
\frac{a^{2025} - b^{2025}}{c^{2025} - d^{2025}} = \frac{b^{2025}(k^{2025} - 1)}{d^{2025}(k^{2025} - 1)} = \frac{b^{2025}}{d^{2025}} = \left(\frac{b}{d}\right)^{2025}.
\]

Vì \( \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \) nên ta có thể viết:

\[
\frac{b}{d} = \frac{1}{k}.
\]

Do đó, ta có

\[
\left(\frac{b}{d}\right)^{2025} = \left(\frac{1}{k}\right)^{2025} = \frac{1}{k^{2025}}.
\]

Tiếp theo, ta tính \( \frac{a + 2b}{c + 2d} \):

\[
\frac{a + 2b}{c + 2d} = \frac{kb + 2b}{kd + 2d} = \frac{(k + 2)b}{(k + 2)d} = \frac{k + 2}{k + 2} \cdot \frac{b}{d} = \frac{b}{d}.
\]

Vậy ta có

\[
\left(\frac{a + 2b}{c + 2d}\right)^{2025} = \left(\frac{b}{d}\right)^{2025} = \frac{1}{k^{2025}}.
\]

Do đó,

\[
\frac{a^{2025} - b^{2025}}{c^{2025} - d^{2025}} = \left(\frac{a + 2b}{c + 2d}\right)^{2025}.
\]

Vậy đẳng thức đã được chứng minh.