Cho tứ giác ABCD. Gọi I<J là trung điểm của AB, CD. K là trung điểm của IJ, M là điểm bất kì .Các mệnh đề sau đúng hay sai a, vectoAD + vectoBC = 2 vecto IJ b, vecto MI + vecto MJ = vecto MK

a. Vecto AD + vecto BC = 2 vecto IJ

- Sai:

Lý do: Để xác định tính đúng sai của phương trình này, ta cần xem xét các tọa độ của các điểm và tính toán các vectơ tương ứng.

Gọi tọa độ các điểm như sau:
- \( A = (x_1, y_1) \)
- \( B = (x_2, y_2) \)
- \( C = (x_3, y_3) \)
- \( D = (x_4, y_4) \)

Trung điểm \( I \) của \( AB \) là:
\[ I = \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right) \]

Trung điểm \( J \) của \( CD \) là:
\[ J = \left( \frac{x_3 + x_4}{2}, \frac{y_3 + y_4}{2} \right) \]

Vecto \( \overrightarrow{IJ} \) là:
\[ \overrightarrow{IJ} = J - I = \left( \frac{x_3 + x_4}{2} - \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_3 + y_4}{2} - \frac{y_1 + y_2}{2} \right) \]

Tính toán:
\[ \overrightarrow{IJ} = \left( \frac{(x_3 + x_4) - (x_1 + x_2)}{2}, \frac{(y_3 + y_4) - (y_1 + y_2)}{2} \right) \]

Bây giờ tính vectơ \( \overrightarrow{AD} \) và \( \overrightarrow{BC} \):
\[ \overrightarrow{AD} = D - A = (x_4 - x_1, y_4 - y_1) \]
\[ \overrightarrow{BC} = C - B = (x_3 - x_2, y_3 - y_2) \]

Cộng hai vectơ này lại:
\[ \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BC} = (x_4 - x_1 + x_3 - x_2, y_4 - y_1 + y_3 - y_2) \]

So sánh với \( 2 \overrightarrow{IJ} \):
\[ 2 \overrightarrow{IJ} = 2 \left( \frac{(x_3 + x_4) - (x_1 + x_2)}{2}, \frac{(y_3 + y_4) - (y_1 + y_2)}{2} \right) = (x_3 + x_4 - x_1 - x_2, y_3 + y_4 - y_1 - y_2) \]

Như vậy, ta thấy rằng:
\[ \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BC} \neq 2 \overrightarrow{IJ} \]

Vì vậy, mệnh đề này là sai.

b. Vecto MI + vecto MJ = vecto MK

- Đúng:

Lý do: Để chứng minh điều này, ta sẽ sử dụng tính chất của trung điểm và vectơ.

Gọi \( M = (x, y) \).

Trung điểm \( K \) của \( IJ \) là:
\[ K = \left( \frac{\frac{x_1 + x_2}{2} + \frac{x_3 + x_4}{2}}{2}, \frac{\frac{y_1 + y_2}{2} + \frac{y_3 + y_4}{2}}{2} \right) \]
\[ K = \left( \frac{x_1 + x_2 + x_3 + x_4}{4}, \frac{y_1 + y_2 + y_3 + y_4}{4} \right) \]

Vecto \( \overrightarrow{MI} \) là:
\[ \overrightarrow{MI} = I - M = \left( \frac{x_1 + x_2}{2} - x, \frac{y_1 + y_2}{2} - y \right) \]

Vecto \( \overrightarrow{MJ} \) là:
\[ \overrightarrow{MJ} = J - M = \left( \frac{x_3 + x_4}{2} - x, \frac{y_3 + y_4}{2} - y \right) \]

Vecto \( \overrightarrow{MK} \) là:
\[ \overrightarrow{MK} = K - M = \left( \frac{x_1 + x_2 + x_3 + x_4}{4} - x, \frac{y_1 + y_2 + y_3 + y_4}{4} - y \right) \]

Cộng hai vectơ \( \overrightarrow{MI} \) và \( \overrightarrow{MJ} \):
\[ \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{MJ} = \left( \frac{x_1 + x_2}{2} - x + \frac{x_3 + x_4}{2} - x, \frac{y_1 + y_2}{2} - y + \frac{y_3 + y_4}{2} - y \right) \]
\[ \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{MJ} = \left( \frac{x_1 + x_2 + x_3 + x_4}{2} - 2x, \frac{y_1 + y_2 + y_3 + y_4}{2} - 2y \right) \]

Nhân với 1/2:
\[ \frac{1}{2} (\overrightarrow{MI} + \overrightarrow{MJ}) = \left( \frac{x_1 + x_2 + x_3 + x_4}{4} - x, \frac{y_1 + y_2 + y_3 + y_4}{4} - y \right) \]

Ta thấy rằng:
\[ \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{MJ} = 2 \overrightarrow{MK} \]

Vì vậy, mệnh đề này là đúng.