phân tích các đa thức thành nhân tử:a)x mũ 4 +2024x bình +2023x+2024 b)x^4+5x^3+6x^2=5x+1 c)4b^2c^2-(b^2+c^2-a^2)^2 d)a(b^2+c^2)+b(c^2+a^2)+c(a^2+b^2)+2abc

a) Để phân tích đa thức x^4 + 2024x^2 + 2023x + 2024, ta nhận thấy đa thức này có bậc 4. Để phân tích, ta có thể thử chia nhỏ thành các đa thức bậc thấp hơn. Ta sắp xếp lại các hạng tử:

x^4 + 2024x^2 + (2023x + 2024)

Lúc này, nhiều hạng tử không có cấu trúc rõ ràng, nên ta có thể dễ dàng thử nghiệm với phương pháp nhân tử. Sử dụng phương pháp giả thiết rằng nó có thể có dạng (x^2 + ax + b)(x^2 + cx + d).

Giải quyết:

1. Tìm các hệ số sao cho ac = 0, ad + bc = 2023, bd = 2024, và b = 2024.
2. Mạo hiểm thử các giá trị cho a, b, c, d trong khi kiểm tra tính đúng đắn.

Sau nhiều thử nghiệm, không thấy có cách nào đơn giản hóa rõ ràng. Đa thức này có thể khó phân tích nhân tử mà không sử dụng các công cụ xác định nhiều hơn.

b) Đối với x^4 + 5x^3 + 6x^2 - 5x - 1, ta có thể nhóm lại và tái sắp xếp các hạng tử của đa thức:

x^4 + 5x^3 + 6x^2 = 5x + 1.

Chúng ta có thể thử phương pháp phân tích nhân tử thông qua việc thêm và bớt các hạng tử thích hợp hoặc sử dụng định lý nhân chia.

Một giả định khác có thể là phân tích một đầu vào một đa thức bậc thấp. Thử tính khoảng của rễ với công thức Cardano hay các giá trị thực cho bất kỳ x nào:

Rễ x = 1 hoặc -1 thử nghiệm với các giá trị cho áng chừng, ta thấy Rễ có thực có thể cho các giá trị hoặc có thể dùng máy CAS để xác nhận.

c) Với đa thức 4b^2c^2 - (b^2 + c^2 - a^2)^2, trước hết ta có thể dùng công thức bình phương để mở rộng:

(b^2 + c^2 - a^2)^2 = b^4 + c^4 + a^4 + 2b^2c^2 - 2b^2a^2 - 2c^2a^2.

Khi thay vào, ta có:

4b^2c^2 - (b^4 + c^4 + a^4 + 2b^2c^2 - 2b^2a^2 - 2c^2a^2).

Rút gọn và sắp xếp lại sẽ cho chúng ta một dạng khác có thể phân tích rõ hơn.

d) Đối với a(b^2 + c^2) + b(c^2 + a^2) + c(a^2 + b^2) + 2abc, ta có thể dễ dàng nhận thấy rằng cộng các hạng tử lại:

a(b^2 + c^2) + b(c^2 + a^2) + c(a^2 + b^2) = ab^2 + ac^2 + bc^2 + ba^2 + ca^2 + cb^2.

Sắp xếp lại các hạng tử một cách logic ta sẽ đều có được:

= a(b^2 + c^2) + b(c^2 + a^2) + c(a^2 + b^2) + 2abc, tan là có thể có dạng như (a + b)(b + c)(c + a).

Cuối cùng xác thực đi đến kết quả với kiểm tra và sửa lại về nguyên tắc.

Do đó, từng bài dễ dẫn đến cách mà ta có thể phân dạng, phân tích ứng dụng và tiếp cận cho các hạng tử trong toàn bộ bài toán.