Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d: x- 4y +15 =0 và điểm A(2;0). Tìm tọa độ điểm M thuộc d để đoạn AM có độ dài nhỏ nhất

Để giải bài toán này, ta cần xác định điểm M trên đường thẳng d có tọa độ x - 4y + 15 = 0 sao cho đoạn AM có độ dài nhỏ nhất, với A(2; 0) là điểm đã cho.

1. Biểu thức tính khoảng cách: Đoạn AM sẽ có độ dài được tính bằng công thức khoảng cách giữa hai điểm A(x1, y1) và M(x2, y2) như sau:
D = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²).

Trong trường hợp này, A(2; 0) và M có tọa độ (x, y) thuộc đường thẳng d.

2. Thay y từ phương trình đường thẳng: Đường thẳng có phương trình x - 4y + 15 = 0 có thể viết lại để tìm y:
4y = x + 15 -> y = (x + 15)/4.

Gọi tọa độ của M là (x, (x + 15)/4).

3. Tính độ dài AM: Thay y vào công thức độ dài:
D = √((x - 2)² + ((x + 15)/4 - 0)²)
= √((x - 2)² + (x + 15)²/16).

4. Giảm phương trình: Để tiện tính toán, ta sẽ giảm Bước này bằng cách tìm bình phương của độ dài (D²) để loại bỏ dấu căn, vì D² không ảnh hưởng đến giá trị nhỏ nhất:
D² = (x - 2)² + (x + 15)²/16.

5. Tính D²: Tính D² và khai triển:
D² = (x - 2)² + (1/16)(x + 15)²
= (x² - 4x + 4) + (1/16)(x² + 30x + 225)
= x² - 4x + 4 + (1/16)x² + (30/16)x + (225/16).

6. Tham số D²: Để tìm điểm M cần phải tính x tại điểm D² đạt giá trị nhỏ nhất. Tính đạo hàm của D² theo x và đặt bằng 0:
D²' = 2x - 4 + (1/16)(2x + 30) = 0
32x - 64 + 2x + 30 = 0
34x - 34 = 0
x = 1.

7. Tính y: Thay x = 1 vào phương trình đường thẳng để tìm y:
y = (1 + 15)/4 = 16/4 = 4.

8. Tọa độ M: Vậy tọa độ điểm M thuộc đường thẳng d sao cho đoạn AM có độ dài nhỏ nhất là:
M(1; 4).

Do đó, đáp án cuối cùng của bài toán là tọa độ điểm M là (1; 4).