Một công ty dự kiến chi 12 triệu đồng cho một đợt quảng cáo sản phẩm của mình. Biết rằng chi phí cho 1 phút quảng cáo trên đài phát thanh là 1500000 đồng và chi phí cho 1 phút quảng cáo trên truyền hình là 4 triệu đồng. Đài

Đầu tiên, ta ký hiệu:

- x: số phút quảng cáo trên đài phát thanh
- y: số phút quảng cáo trên truyền hình

Theo đề bài, công ty có tổng ngân sách là 12 triệu đồng. Chi phí cho quảng cáo trên đài phát thanh là 1.500.000 đồng cho 1 phút, và chi phí cho quảng cáo trên truyền hình là 4 triệu đồng cho 1 phút. Do đó, ta có phương trình về ngân sách như sau:

1,500,000x + 4,000,000y = 12,000,000

Để đơn giản, ta chia cả phương trình cho 1 triệu:

1.5x + 4y = 12

Ngoài ra, theo điều kiện của bài toán:

- Đài phát thanh yêu cầu quảng cáo ít nhất 3 phút, tức là x >= 3.
- Đài truyền hình cho phép quảng cáo tối đa là 4 phút, tức là y <= 4.

Theo thông tin từ phân tích, hiệu quả quảng cáo trên đài truyền hình gấp 5 lần so với đài phát thanh. Do đó, để tối ưu hóa hiệu quả quảng cáo, ta có thể lập phương trình được tính theo hiệu quả:

Hiệu quả = 5y + x

Mục tiêu của chúng ta là tối đa hóa hàm hiệu quả này với các ràng buộc đã nêu.

Giờ ta cần tìm giá trị của x và y thỏa mãn các điều kiện ràng buộc và làm cho hiệu quả quảng cáo (5y + x) là lớn nhất.

Đầu tiên, từ phương trình:

y = (12 - 1.5x) / 4

Ta thay vào hàm mục tiêu:

Hiệu quả = 5((12 - 1.5x) / 4) + x
= (60 - 7.5x) / 4 + x
= 15 - 1.875x + x
= 15 - 0.875x

Bây giờ ta sẽ tính giới hạn của y trong khả thi:

1. y phải thỏa mãn y <= 4, tức là khi y = 4:

1.5x + 4(4) = 12

Tính ra:

1.5x + 16 = 12
=> 1.5x = -4 (Không khả thi, loại)

2. Với giá trị tăng dần của y, ta có thể thử y = 3:

1.5x + 4(3) = 12
=> 1.5x + 12 = 12
=> 1.5x = 0
=> x = 0 (Không khả thi, x không thể bé hơn 3)

3. Thử khi x = 3:

Ta tính lại y:

1.5(3) + 4y = 12
4y = 12 - 4.5
=> 4y = 7.5
=> y = 1.875

Bây giờ ta có một cặp khả thi: x = 3, y = 1.875.

4. Xem xét trường hợp y tối đa (4 phút):

1.5x + 4*4 = 12
1.5x + 16 = 12
=> Không khả thi.

Cuối cùng, sau khi xem xét các cặp, ta thấy 3 phút trên đài phát thanh và 1.875 phút trên đài truyền hình là một giải pháp thỏa mãn ngân sách 12 triệu đồng với việc quảng cáo có hiệu quả tối đa.

Tóm lại, công ty nên quảng cáo 3 phút trên đài phát thanh và 1.875 phút trên đài truyền hình để đạt được hiệu quả tối đa.