Cho đường thẳng d phương trình tham số  x = 4 - t , x + y = 1 + 2 . Biết điểm N(c; d) nằm trên d sao cho đoạn AN ngắn nhất. Giá trị biểu thức c + d bằng bao nhiêu A(2;1)

Để giải bài toán này, ta có đường thẳng d với phương trình tham số là x = 4 - t, và x + y = 1 + 2 (tức là x + y = 3).

1. Tìm biểu thức cho toạ độ y: Từ phương trình x + y = 3, ta có:
y = 3 - x.

Thay giá trị x từ phương trình tham số vào:
y = 3 - (4 - t) = t - 1.

Như vậy, mô tả tọa độ của các điểm trên đường thẳng d là:
(x, y) = (4 - t, t - 1).

2. Tính độ dài đoạn AN: A(2; 1) là điểm cho trước. Điểm N có tọa độ (4 - t, t - 1). Độ dài đoạn AN được tính theo công thức:
AN = √[(c - 2)² + (d - 1)²],
với c = 4 - t và d = t - 1.

Thay c và d vào công thức:
AN = √[((4 - t) - 2)² + ((t - 1) - 1)²]
= √[(2 - t)² + (t - 2)²].

Điều này trở thành:
AN = √[(2 - t)² + (t - 2)²],
= √[2(2 - t)²], vì (t - 2)² và (2 - t)² là giống nhau.

Đơn giản hoá hơn:
AN = √[2 (t - 2)² + 2 (t - 2)²] = √[4(t - 2)²] = 2|t - 2|.

3. Tìm giá trị t để AN ngắn nhất: Tại t = 2, đoạn AN đạt giá trị nhỏ nhất (bằng 0). Ta đi tìm tọa độ N tại t = 2:

Khi t = 2:
x = 4 - 2 = 2,
y = 2 - 1 = 1.

Do đó, điểm N(c; d) chính là A(2, 1).

4. Tính giá trị của c + d: Từ kết quả trên, ta có c = 2 và d = 1.

Vậy c + d = 2 + 1 = 3.

Do đó, giá trị biểu thức c + d bằng 3.