Chứng minh rằng với mọi giá trị của biến x thì giá trị của đa thức A luôn lớn hơn giá trị của đa thức B: a)A=$x^{2}$ +1 và B= 2x - 3 b)A=$x^{2}$ + x - 2 và B = -3$x^{2}$ +9x - 16

a) Ta cần chứng minh rằng với mọi giá trị của biến x thì A = x^2 + 1 luôn lớn hơn B = 2x - 3.

Đầu tiên, ta sẽ tìm hiệu giữa hai đa thức A và B:

A - B = (x^2 + 1) - (2x - 3)
= x^2 + 1 - 2x + 3
= x^2 - 2x + 4.

Tiếp theo, ta cần kiểm tra dấu của A - B. Để làm điều này, ta sẽ xem xét phân tích đa thức x^2 - 2x + 4.

Đa thức x^2 - 2x + 4 có thể được viết dưới dạng bậc hai với các hệ số a = 1, b = -2, c = 4. Để kiểm tra tính khả thi của nghiệm, ta dùng công thức tính nghiệm:

Δ = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4(1)(4) = 4 - 16 = -12.

Vì Δ < 0, đa thức x^2 - 2x + 4 không có nghiệm thực. Đồng thời, hệ số a (1) dương, nên A - B luôn dương với mọi giá trị của x.

Vì vậy, với mọi x, A > B, nghĩa là x^2 + 1 > 2x - 3.

b) Tiếp theo, ta chứng minh rằng A = x^2 + x - 2 luôn lớn hơn B = -3x^2 + 9x - 16 với mọi giá trị của x.

Tương tự, ta sẽ tìm hiệu A - B:

A - B = (x^2 + x - 2) - (-3x^2 + 9x - 16)
= x^2 + x - 2 + 3x^2 - 9x + 16
= 4x^2 - 8x + 14.

Bây giờ, ta sẽ xét tính khả thi của nghiệm của đa thức 4x^2 - 8x + 14:

Δ = (-8)^2 - 4(4)(14) = 64 - 224 = -160.

Tương tự như trước, vì Δ < 0, nên đa thức 4x^2 - 8x + 14 không có nghiệm thực. Hơn nữa, hệ số a (4) dương, cho thấy đa thức này luôn lớn hơn 0.

Do đó, với mọi giá trị của x, A - B > 0, nghĩa là A > B, tức là x^2 + x - 2 > -3x^2 + 9x - 16.