Giải giúp mình với ạ cảm ơn ạ

Để giải bài toán này, ta sẽ phân tích từng phần của hàm số f(x).

Hàm số:
f(x) = 1/(x - 1) - (3x + 4)/(x^3 - 1)

a) Điều kiện xác định của hàm số là x ≠ 1.

Hàm số này có mấy phần cần xem xét:

1. Mẫu số: Để hàm số xác định, mẫu số không được bằng 0. Ta có:
- Mẫu số thứ nhất: x - 1 không thể bằng 0, tức là x ≠ 1.
- Mẫu số thứ hai: x³ - 1 = 0 ⇒ x = 1.

Khi x = 1, mẫu số thứ hai sẽ cũng bằng 0. Do đó, hàm số không xác định tại x = 1.

Ngoài ra, x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1) sẽ bằng 0 khi x = 1. Như vậy, hàm số còn không xác định tại các nghiệm của phương trình x^2 + x + 1 = 0. Tuy nhiên, phương trình này không có nghiệm thực (bị âm dưới dấu căn).

Vì vậy, điều kiện xác định của hàm số là x ≠ 1 là đúng.


b) f(x) = 0 tại x = -1 và x = 3.

Ta cần xét phương trình:

1/(x - 1) - (3x + 4)/(x^3 - 1) = 0

Để hàm số bằng 0, cần có:

1/(x - 1) = (3x + 4)/(x^3 - 1)

Giải phương trình này sẽ cho những giá trị cụ thể của x.

Phân tích nghiệm này:
Khi x = -1:

1/(-1 - 1) = -1/2 không bằng 0,
(3 * -1 + 4) = 1.

Khi x = 3:

1/(3 - 1) = 1/2,
(3 * 3 + 4) = 13.

Như vậy, không ngoan 1 và 3 khiến f(x) không bằng 0.

Kết luận: f(x) = 0 tại x = -1 và x = 3 là sai.


c) f(x) > 0, ∀ x ∈ (-∞; -1) ∪ (1; 3).

Ta cần xét dấu của từng phần trong hàm số f(x).

- Tại khoảng x ∈ (-∞, -1):
Với x < -1, mẫu là dương, hàm f(x) sẽ dương.

- Tại khoảng x ∈ (1, 3):
Mẫu số (x-1) dương, do đó hàm số xác định và cần cần rút riêng hàm này, thì có thể tính giá trị cụ thể để xem dấu của hàm số.

Kết luận: Do ta đã phân tích, f(x) > 0 không phải luôn đúng tại khoảng này nên phần này là sai.


d) f(x) < 0, ∀ x ∈ (-1; 1) ∪ (3; +∞).

Tương tự, ta phân tích từng khoảng:

- Tại khoảng x ∈ (-1, 1): Với x > -1, mẫu là dương mà dấu hàm có thể nhỏ, nên cần kiểm tra.

- Tại khoảng x ∈ (3, +∞): Mẫu (x - 1) dương và mẫu x³ - 1 cũng là dương, do đó hàm không thể là âm hoàn toàn.

Kết luận: f(x) < 0 tại các khoảng này không đúng.


Tóm lại:
a) Đúng
b) Sai
c) Sai
d) Sai