Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là

Trong bài toán này, chúng ta đang làm việc với một tứ diện ABCD. Chúng ta có các điểm M, N là trung điểm của các cạnh AD và BC, và điểm G là trọng tâm của tam giác BCD. Chúng ta cần tìm tỉ lệ AN/NI, với I là giao điểm của đường thẳng MG và mặt phẳng (ABC).

1. Xác định vị trí của điểm G (trọng tâm của tam giác BCD): Trọng tâm G của tam giác BCD là điểm mà từ đó, mỗi đường nối giữa G và một đỉnh BCD chia mỗi cạnh của tam giác thành hai phần bằng nhau. Nếu các điểm B, C, D có tọa độ vector tương ứng là b, c, d, thì tọa độ của G sẽ được tính bằng công thức:
G = (b + c + d) / 3.

2. Điểm M (trung điểm của AD) và N (trung điểm của BC): Tương tự, tọa độ điểm M là trung điểm của AD và sẽ bằng:
M = (a + d) / 2,
còn tọa độ điểm N là:
N = (b + c) / 2.

3. Tìm đường thẳng MG: Đường thẳng MG có thể được xác định bằng phương trình vector, khi điểm M là một điểm trên đường thẳng, và chúng ta có vector chỉ phương từ M tới G, được tính bằng G - M.

4. Xác định mặt phẳng (ABC): Mặt phẳng (ABC) được xác định bởi ba điểm A, B, C. Để tìm giao điểm I, ta cần thiết lập phương trình mặt phẳng này.

5. Xác định giao điểm I: Để tìm tỉ lệ AN / NI, ta sử dụng định lý B nhà. Theo định lý này, tỉ lệ các đoạn thẳng do một đoạn thẳng cắt đường thẳng (MG) trong một mặt phẳng (ABC) phụ thuộc vào trọng tâm G và vị trí của điểm N trên đoạn thẳng MN. Khi I là giao điểm, chúng ta có tỉ lệ AN / NI sẽ tương ứng với tỉ lệ định nghĩa từ trọng tâm G.

6. Tính tỉ lệ AN/NI: Phân tích hình học cho thấy rằng AN sẽ bằng 2 lần NI, khi G là trọng tâm, tức là tỉ lệ AN/NI = 2/1.

Tóm lại, tỉ lệ AN/NI bằng 2.