Với giá trị nao của a thì hệ phương trình $egin{cases} x+y=a^2 + a +1 \x-y= -a^2 + a -1 end{cases}$ có nghiệm `(x;y)` với `3x + y` nhỏ nhất

Để giải bài toán tìm giá trị của \( a \) để hệ phương trình

\[
\begin{cases}
x + y = a^2 + a + 1 \\
x - y = -a^2 + a - 1
\end{cases}
\]

có nghiệm \( (x; y) \) với \( 3x + y \) nhỏ nhất, ta bắt đầu bằng cách giải hệ phương trình.

Ta có thể cộng hai phương trình trên lại:

\[
(x + y) + (x - y) = (a^2 + a + 1) + (-a^2 + a - 1)
\]
\[
2x = 2a \implies x = a
\]

Tiếp theo, ta thay giá trị \( x = a \) vào một trong hai phương trình để tìm \( y \). Chọn phương trình đầu tiên:

\[
a + y = a^2 + a + 1
\]
\[
y = a^2 + 1
\]

Vậy nghiệm của hệ phương trình là \( (x, y) = (a, a^2 + 1) \).

Tiếp theo, ta tính giá trị của biểu thức \( 3x + y \):

\[
3x + y = 3a + (a^2 + 1) = a^2 + 3a + 1
\]

Để tìm giá trị nhỏ nhất của \( a^2 + 3a + 1 \), ta hoàn thành bình phương biểu thức này. Ta có:

\[
a^2 + 3a + 1 = \left(a + \frac{3}{2}\right)^2 - \frac{9}{4} + 1 = \left(a + \frac{3}{2}\right)^2 - \frac{5}{4}
\]

Biểu thức \( \left(a + \frac{3}{2}\right)^2 \) đạt giá trị nhỏ nhất bằng \( 0 \) khi \( a + \frac{3}{2} = 0 \) hay \( a = -\frac{3}{2} \).

Với giá trị \( a = -\frac{3}{2} \):

\[
3x + y = -\frac{5}{4}
\]

Tổng kết lại, giá trị của \( a \) để hệ phương trình có nghiệm \( (x, y) \) với \( 3x + y \) nhỏ nhất là:

\[
\boxed{-\frac{3}{2}}
\]