Tìm số tự nhiên n sao cho 3n+7 chia hết cho 5.

Để giải bài toán này, ta muốn tìm số tự nhiên n sao cho biểu thức 3n + 7 chia hết cho 5. Điều này có nghĩa là 3n + 7 phải chia cho 5 dư 0.

Ta sẽ xét điều kiện này bằng cách tìm số dư của 3n + 7 khi chia cho 5.

Trước tiên, ta viết lại điều kiện:

3n + 7 ≡ 0 (mod 5)

Ta có thể giản lược phương trình này. Đầu tiên, ta xét 7 modulo 5:

7 ≡ 2 (mod 5)

Do đó, ta có:

3n + 2 ≡ 0 (mod 5)

Tiếp theo, ta trừ 2 ở hai vế:

3n ≡ -2 (mod 5)

Vì -2 tương đương với 3 (mod 5) (bởi vì -2 + 5 = 3), ta có:

3n ≡ 3 (mod 5)

Để tìm n, ta chia hai vế cho 3. Tuy nhiên, để thực hiện phép chia trong modulo, ta cần tìm nghịch đảo của 3 modulo 5. Ta cần một số k sao cho:

3k ≡ 1 (mod 5)

Bằng cách thử các số từ 1 đến 4 cho k, ta tìm được k = 2 vì:

3 * 2 = 6 ≡ 1 (mod 5)

Bây giờ, ta nhân cả hai vế của phương trình 3n ≡ 3 với 2:

2 3n ≡ 2 3 (mod 5)

Kết quả là:

n ≡ 1 (mod 5)

Điều này có nghĩa là n có thể viết dưới dạng:

n = 5k + 1, với k là một số tự nhiên (k = 0, 1, 2, ...).

Kết luận, các số tự nhiên n mà thỏa mãn điều kiện 3n + 7 chia hết cho 5 là 1, 6, 11, 16, 21,..., tức là các số có dạng 5k + 1.