cách chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Để chứng minh một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, chúng ta cần sử dụng khái niệm về vectơ pháp tuyến và định nghĩa của sự vuông góc trong không gian 3 chiều.

Bước 1: Nhận biết mặt phẳng
Giả sử mặt phẳng được xác định bởi một phương trình tổng quát là Ax + By + Cz + D = 0, trong đó A, B, C không đồng thời bằng 0. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng này có thể được xác định là N = (A, B, C).

Bước 2: Xác định đường thẳng
Cần có một đường thẳng mà chúng ta muốn chứng minh nó vuông góc với mặt phẳng. Đường thẳng này có thể được xác định dưới dạng parametric hoặc vectơ. Giả sử đường thẳng có phương trình là:

r(t) = (x0, y0, z0) + t(Vx, Vy, Vz)

Trong đó (x0, y0, z0) là một điểm nằm trên đường thẳng và (Vx, Vy, Vz) là vectơ chỉ phương của đường thẳng.

Bước 3: Kiểm tra tính vuông góc
Để chứng minh rằng đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, chúng ta cần kiểm tra tích vô hướng giữa vectơ chỉ phương của đường thẳng và vectơ pháp tuyến của mặt phẳng. Nếu tích vô hướng này bằng 0, thì đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.

Cụ thể, tính tích vô hướng:

N . V = A Vx + B Vy + C * Vz

Nếu kết quả của tích vô hướng này bằng 0 (N . V = 0), thì đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.

Ví dụ: Giả sử mặt phẳng có phương trình 2x + 3y + 4z + 5 = 0, có vectơ pháp tuyến N = (2, 3, 4). Và đường thẳng có vectơ chỉ phương V = (1, -2, 2).

Tính tích vô hướng:

N . V = 21 + 3(-2) + 4*2 = 2 - 6 + 8 = 4

Vì kết quả không bằng 0, nên đường thẳng không vuông góc với mặt phẳng này. Ngược lại, nếu chúng ta có một vectơ chỉ phương khác sao cho tích vô hướng bằng 0, chúng ta sẽ có sự vuông góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.

Tóm lại, việc chứng minh một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng được thực hiện thông qua việc kiểm tra tích vô hướng giữa vectơ chỉ phương của đường thẳng và vectơ pháp tuyến của mặt phẳng; nếu tích này bằng 0, hai đối tượng vuông góc với nhau.