bài 10 chứng minh   5 / 2.5 + 5/ 5 .8 + .....+ 5 /2024 .2027 < 5/6

Để chứng minh bất đẳng thức

5 / 2.5 + 5 / 5 . 8 + ... + 5 / 2024 . 2027 < 5 / 6,

ta bắt đầu phân tích từng hạng tử trong tổng.

Ta có dãy các số hạng như sau:

1. Hạng tử đầu tiên là 5 / 2.5. Đây có thể được viết lại là 5 / (5/2) = 2.
2. Hạng tử thứ hai là 5 / (5 * 8) = 5 / 40 = 0.125.
3. Thế cho các hạng tử tiếp theo, ta có hạng tử tổng quát là:

5 / (n(n+3)) với n là chỉ số trong các hạng tử từ 2 đến 2024.

Áp dụng bất định thức điều kiện dãy tăng (hoặc giảm), ta cân nhắc giá trị của các hạng tử. Để đánh giá tổng của chúng, có thể sử dụng các giới hạn với cách tiếp cận tính gần đúng.

Chúng ta áp dụng bất đẳng thức căng với tổng các hạng tử:

Tổng có thể viết lại dưới dạng:

S = ∑ (5 / (n(n+3))), trong đó n = 2, 5, 8, ..., 2024.

Sử dụng công thức phân tích, chúng ta có thể rút gọn hạng tử:

5 / (n(n+3)) = 5 / 3 * (1/n - 1/(n+3)).

Áp dụng tổng này vào hành động và tính từng cụm của biểu thức, tạo ra chuỗi cuối cùng cận bằng:

S < 5/6 nghĩa là điều mà phải kiểm nghiệm.

Tiếp tục với cấu trúc tính toán tổng biểu thức,

S = 5/3 (1/2 - 1/5 + 1/5 - 1/8 + ...)

Chúng ta nhận thấy chuỗi cộng dồn đó sẽ hội tụ ở một giá trị nhỏ hơn 5/6.

Vì vậy, tất cả hạng tử từ hạng tử đầu tiên đến hạng tử cuối cùng sẽ cho tổng nhỏ hơn 5/6.

Cuối cùng, chúng ta đã chứng minh rằng:

5 / 2.5 + 5 / 5 8 + ... + 5 / 2024 2027 < 5 / 6.