Cho tam giác ABC vuông tại A , M thuộc BC . Kẻ MD và ME lần lượt vuông góc với AB và AC ( D thuộc AB , E thuộc AC ). Lấy I là trung điểm của DE. a, ADMC là hình gì ? Vì sao ? b, A ,

a) Hình ADMC là hình chữ nhật. Bởi vì MD vuông góc với AB và ME vuông góc với AC, từ đó ta có 2 cặp cạnh AD và MC, AM và DC lần lượt vuông góc với nhau. Hơn nữa, với các góc vuông, mọi cạnh của hình ADMC đều tạo thành các cặp song song và bằng nhau nên hình này có đầy đủ tính chất của một hình chữ nhật.

b) A, I, M thẳng hàng. Để chứng minh điều này, trước tiên, ta nhận xét rằng I là trung điểm của DE, nên AI = ID và AI = IE. Do đó, nếu ta nối A với I qua đường thẳng, chúng ta thấy rằng đoạn AM cũng sẽ chia đều các đoạn ID và IE. Từ đó cho ra rằng A, I, M phải nằm trên một đường thẳng.

c) Để chứng minh A, P, Q thẳng hàng và A là trung điểm của PQ, ta tiến hành như sau:

Theo giả thiết, DP = DM và EQ = EM. Từ đó, chúng ta có một đoạn thẳng PQ có chiều dài nhất định với A ở giữa. Do DP = DM và EQ = EM, nên khi ta nối các điểm P và Q, sẽ có A nằm giữa chúng, tức là AP = AQ.

Hơn nữa, bằng định lý đường trung bình trong tam giác, ta có thể thấy rằng nếu DP = DM và EQ = EM, thì A chia đôi đoạn thẳng PQ nên A là trung điểm của PQ.

d) Để xác định vị trí của M trên BC sao cho độ dài DE ngắn nhất, ta cần hiểu rằng DE là cạnh huyền trong tam giác vuông ADE. Để tối thiểu hóa chiều dài của DE, M phải được chọn sao cho DE vuông góc với đường thẳng BC và cắt BC tại trung điểm của đoạn AB, tức là khi MA = MB. Điều này xảy ra khi M nằm ở trung điểm BC. Khi M ở vị trí này, DE sẽ là đoạn ngắn nhất giữa điểm D trên AB và điểm E trên AC.