M= (1/2^X -1). (1/3^X-1).(1/4^X-1)........(1/2021^X-1) So sánh M với 1/2

Để so sánh M với 1/2, trước tiên chúng ta cần phân tích biểu thức của M:

M = (1/2^X - 1)(1/3^X - 1)(1/4^X - 1)...(1/2021^X - 1).

Chúng ta thấy rằng mỗi yếu tố trong biểu thức M có dạng (1/n^X - 1) với n từ 2 đến 2021. Khi X tăng, giá trị của n^X lớn hơn sẽ làm cho 1/n^X nhỏ hơn, dẫn đến 1/n^X - 1 trở thành một số âm, vì nó sẽ nhỏ hơn -1.

Nếu X > 0, thì các thành phần 1/n^X - 1 (với n từ 2 đến 2021) sẽ là các số âm, vì 1/n^X sẽ là một giá trị dương nhỏ hơn 1. Điều này đồng nghĩa với việc tích số của chúng (M) sẽ cũng là một số âm hoặc bằng 0.

Do đó, trong trường hợp này, M sẽ nhỏ hơn 1/2.

Ngược lại, nếu X < 0, 1/n^X sẽ trở thành lớn hơn 1, và do đó 1/n^X - 1 sẽ trở thành một số dương. Khi đó, tích của tất cả các yếu tố này sẽ là một số dương, nhưng điều này làm cho M trở thành một số dương. Tuy nhiên, với một số lượng n lớn (từ 2 đến 2021), M sẽ ngày càng nhỏ khi X âm và có thể không đạt đến ngưỡng 1/2.

Tóm lại:
- Nếu X > 0, M < 1/2.
- Nếu X < 0, M vẫn có thể rất nhỏ, nhưng sẽ tiếp tục được tính toán để xem nó có lớn hơn 1/2 hay không.

Vì vậy, trong hầu hết trường hợp với X dương, M luôn nhỏ hơn 1/2.