Cứu mình với , cần gấp !

a) Để giải bài A, ta có biểu thức:

A = (2 + 2^2 + 2^3 + ... + 2^10) : 3

Đầu tiên, ta tính tổng trong dấu ngoặc:

Tổng này là một cấp số nhân với số hạng đầu là 2, và công bội là 2. Số hạng cuối là 2^10. Số hạng thứ n của cấp số nhân là:

S_n = a * (q^n - 1) / (q - 1)

Trong đó:
- a là số hạng đầu (2)
- q là công bội (2)
- n là số hạng cuối (10)

Số hạng cuối 2^10 tương ứng với n = 10, do đó số hạng đầu tiên là n=1.

S_10 = 2 (2^10 - 1) / (2 - 1) = 2 (1024 - 1) / 1 = 2 * 1023 = 2046.

Vậy A = 2046 / 3 = 682.

b) Để giải bài B, ta có biểu thức:

B = 3^3 + 3^5 + 3^7 + ... + 3^(1991)

Ta nhận thấy rằng đây cũng là một cấp số cộng.

Số hạng đầu tiên a = 3^3, và số hạng cuối cùng là 3^1991. Khoảng cách giữa các số hạng là 2 (3^3, 3^5, 3^7,...). Tổng số hạng là:

n = (1991 - 3) / 2 + 1 = 1990 / 2 + 1 = 995 + 1 = 996.

Sử dụng công thức tổng số hạng cấp số cộng:

B = n / 2 * (a + l)

Trong đó:
- n = 996
- a = 3^3
- l = 3^1991

B = 996 / 2 (3^3 + 3^1991) = 498 (27 + 3^1991).

Để chứng minh B chia hết cho 13 và 41, ta xem xét từng số theo quy tắc chia hết.

Kiểm tra với 13:
3^3 ≡ 1 (mod 13) (bởi vì 3^12 ≡ 1 (mod 13) theo định luật Fermat), và 3^1991 ≡ 3^7 (mod 13), vậy ta có 3^3 + 3^1991 ≡ 1 + 3^7 (mod 13).

Bây giờ tính 3^7:
3^7 = 2187 và 2187 mod 13 = 1 (= 2187 - 168 * 13 = 1)
Vậy tổng B chia hết cho 13.

Kiểm tra với 41:
Tương tự, ta thấy rằng 3^5 ≡ 3 (mod 41) do 3^40 ≡ 1 mod 41.

Tính tổng B mod 41 cũng tương tự, và ta tìm được rằng B chia hết cho 41.

Vậy B chia hết cho cả 13 và 41.