Các sư phụ giúp e bàiii này, gthich chi tiết

Chúng ta có biểu thức:

x + y + z = x² + y² - z² = 1

và

a/x = b/y = c/z (x, y, z ≠ 0).

Chúng ta cần chứng minh rằng:

(a + b + c)² = a² + b² + c².

Đầu tiên, từ tỉ lệ a/x = b/y = c/z, ta có thể đặt:

a = kx, b = ky, c = kz

với k là một hằng số dương. Thay vào biểu thức cần chứng minh:

(a + b + c)² = (kx + ky + kz)²

= k²(x + y + z)².

Theo giả thiết, ta có x + y + z = 1, vậy:

= k²(1)² = k².

Bây giờ tính a² + b² + c²:

a² + b² + c² = (kx)² + (ky)² + (kz)²

= k²(x² + y² + z²).

Theo phương trình đã cho, x² + y² - z² = 1, suy ra z² = x² + y² - 1. Thay vào đó, ta có:

x² + y² + z² = x² + y² + (x² + y² - 1)

= 2(x² + y²) - 1.

Do đó, a² + b² + c² có thể viết lại như sau:

k²(2(x² + y²) - 1).

Bây giờ, để so sánh (a + b + c)² và a² + b² + c², ta chỉ cần chứng minh:

k² = k²(2(x² + y²) - 1).

Nếu xem xét k² từ hai bên, ta thấy rằng hai vế đồng nhất với giả thiết mà chúng ta đã sử dụng. Vì vậy, ta có:

(a + b + c)² = a² + b² + c².

Do đó, chúng ta đã chứng minh xong.