cuuuw toiiiiiiiiiiiii khoi cuoc song nay

a) Để tính các tỉ số \( \frac{AD}{AB} \) và \( \frac{AE}{AC} \), ta có:

- \( AD = 6 \, \text{cm} \) và \( AB = 9 \, \text{cm} \):
\[
\frac{AD}{AB} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}
\]

- \( AE = 10 \, \text{cm} \) và \( AC = 15 \, \text{cm} \):
\[
\frac{AE}{AC} = \frac{10}{15} = \frac{2}{3}
\]

Từ đó, chúng ta có:
\[
\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} \Rightarrow \Delta ADE \sim \Delta ABC
\]

b) Để chứng minh rằng đường phân giác của góc \( BAC \) cắt \( BC \) tại \( I \), ta sử dụng định nghĩa đường phân giác. Theo định lý phân giác, tỉ số chiều dài hai đoạn \( BI \) và \( CI \) được tỉ lệ với hai cạnh kề \( AB \) và \( AC \):

- \( BC = 18 \, \text{cm} \)

Ta có:
\[
\frac{AB}{AC} = \frac{9}{15} = \frac{3}{5}
\]

Với \( BI = 3k \) và \( CI = 5k \), từ đó ta có:
\[
BI + CI = BC \Rightarrow 3k + 5k = 18k \Rightarrow 8k = 18 \Rightarrow k = \frac{18}{8} = 2.25
\]
Vậy \( BI = 6.75 \) và \( CI = 11.25 \).

c) Để chứng minh \( ND \cdot IC = NE \cdot IB \), ta sử dụng tính chất của các đoạn thẳng được tạo thành khi chia tam giác thành các phần. Theo định lý về tỉ số đoạn thẳng, vì \( \Delta ADE \sim \Delta ABC \), tính chất này cho phép chúng ta viết:
\[
\frac{ND}{NE} = \frac{AD}{AE} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}
\]
và
\[
\frac{IC}{IB} = \frac{AC}{AB} = \frac{15}{9} = \frac{5}{3}
\]

Bằng cách nhân chéo, ta có:
\[
ND \cdot IC = NE \cdot IB
\]

Từ đó, điều này chứng minh mối quan hệ cần thiết.