Câu 1 cho biểu thức A(x²-3/x²-9+1/x-3)x/x+3a, rút gọn biểu thức a với x+3 và x-3b, Tính giá trị của a tại x = 7 và 5c, tính giá trị x nguyên để a nhận giá trị nguyên

Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện từng phần một cách chi tiết.

### Phần a: Rút gọn biểu thức

Biểu thức đã cho là:

A(x) = (x² - 3)/(x² - 9) + 1/(x - 3) * (x/(x + 3))

Bước 1: Rút gọn từng phần của biểu thức.

1. Phần đầu tiên: x² - 3 và x² - 9
- x² - 9 = (x - 3)(x + 3), vì vậy ta có thể viết A(x) như sau:

A(x) = (x² - 3)/[(x - 3)(x + 3)] + 1/(x - 3) * (x/(x + 3))

Bước 2: Tìm mẫu số chung của hai phân số.

Mẫu số chung là (x - 3)(x + 3). Ta sẽ chuyển đổi các phân số để có cùng mẫu số.

2. Đưa phần thứ hai về mẫu số chung:
- 1/(x - 3) có mẫu số (x - 3), nên ta nhân cả tử và mẫu với (x + 3):
- 1/(x - 3) = (x + 3)/[(x - 3)(x + 3)]

Giờ đây, biểu thức sẽ là:

A(x) = (x² - 3)/[(x - 3)(x + 3)] + (x + 3)/[(x - 3)(x + 3)]

Bước 3: Cộng hai phân số lại:

A(x) = [(x² - 3) + (x + 3)]/[(x - 3)(x + 3)]

Khi rút gọn tử số:

x² - 3 + x + 3 = x² + x

A(x) = (x² + x)/[(x - 3)(x + 3)]

Bước 4: Phân tích tử số x² + x:

x² + x = x(x + 1), từ đó ta có:

A(x) = x(x + 1)/[(x - 3)(x + 3)]

### Phần b: Tính giá trị của A tại x = 7 và 5.

Bây giờ, ta sẽ tính A(7) và A(5):

1. Tính A(7):

A(7) = 7(7 + 1)/[(7 - 3)(7 + 3)] = 7(8)/[(4)(10)] = 56/40 = 7/5

2. Tính A(5):

A(5) = 5(5 + 1)/[(5 - 3)(5 + 3)] = 5(6)/[(2)(8)] = 30/16 = 15/8

### Phần c: Tính giá trị x nguyên để A nhận giá trị nguyên.

A(x) = x(x + 1)/[(x - 3)(x + 3)]

Để A(x) là số nguyên, tử phải chia hết cho mẫu. Do đó, ta cần giải:

x(x + 1) phải chia hết cho (x - 3)(x + 3).

Những giá trị nguyên cần kiểm tra là những giá trị x xung quanh 3 và -3.

- Khi x = 0: A(0) = 0
- Khi x = -1: A(-1) = 0
- Khi x = 2: A(2) = 2(3)/[-1(5)] = -6/5 (không nguyên)
- Khi x = 3: Mẫu số = 0 (không xác định)
- Khi x = 4: A(4) = 4(5)/(1)(7) = 20/7 (không nguyên)
- Khi x = 5: A(5) = 15/8 (không nguyên)
- Khi x = 6: A(6) = 6(7)/(3)(9) = 42/27 (không nguyên)
- Khi x = 1: A(1) = 1(2)/(-2)(4) = -1/4 (không nguyên)
- Khi x = -4: A(-4) = -4(-3)/[-7(-1)] = 12/7 (không nguyên)

Sau khi thử nhiều giá trị nguyên khác nhau, ta thấy rằng giá trị nguyên duy nhất đạt được là:

- A(0) = 0
- A(-1) = 0

Vậy x nguyên để A nhận giá trị nguyên chỉ có thể là 0 và -1.