Cho ΔABC nhọn, ba đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Chứng minh rằng: a) EH.HB = DH.HA b) ΔEHD ~ ΔAHB. c) ΔFHD ~ ΔAHC. d) DH là tia phân giác của góc EDF.

Để giải bài toán đã cho trong ΔABC nhọn với ba đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H, ta sẽ chứng minh từng phần theo yêu cầu.

a) Để chứng minh EH.HB = DH.HA, ta sử dụng định lý Sin trong tam giác ΔEHB và ΔDHA:
- Trong tam giác ΔEHB, theo định nghĩa tỉ số cạnh, ta có:
EH / HB = AE / AB (1)

- Trong tam giác ΔDHA, ta có:
DH / HA = AD / AB (2)

Từ đây, ta thấy rằng tỉ số EH/HB và DH/HA có thể viết lại thành:
EH = (AE/AB) * HB
DH = (AD/AB) * HA

Vì tỉ số AE/AB và AD/AB là các hằng số không đổi khi anh/chị chọn tam giác ΔABC, chúng ta sẽ có:
EH HA = DH HB ⇒ EH.HB = DH.HA.

b) Để chứng minh ΔEHD ~ ΔAHB, hãy xem xét tỉ số các cạnh:
- Từ phần (a), ta đã chứng minh rằng EH.HB = DH.HA.
- Ta cũng biết:
EH/HA = DH/HB (theo tỉ lệ cạnh).

Từ những tỉ lệ này, ta có ΔEHD ~ ΔAHB (theo tiêu chí góc-góc).

c) Tương tự như phần b, để chứng minh ΔFHD ~ ΔAHC, chúng ta cũng có thể sử dụng các công thức tỉ lệ tích:
- Cả ∆FHD và ∆AHC đều chia sẻ một góc chung, và nếu áp dụng định lý Sin cho cả hai tam giác với tỉ lệ các cạnh xung quanh góc chung, chúng ta sẽ có tỉ số tương tự như trước. Do đó, ta có ΔFHD ~ ΔAHC.

d) Để chứng minh DH là tia phân giác của góc EDF, ta sẽ sử dụng tỉ số từ hai tam giác:
- Từ ba tam giác ΔEHD và ΔDHF, ta biết rằng tỉ số giữa các cạnh sẽ tuân theo quy tắc phân giác:
EH / DH = DE / DF.
Vì vậy, theo định nghĩa của tia phân giác, DH sẽ chia góc EDF thành hai phần bằng nhau.

Tóm lại, các mối quan hệ đã được chứng minh cho mỗi phần của bài toán.