Tìm các hằng số a, b sao cho đa thức f(x)=x^4-x^3-3x^2+ax+b chia cho đa thức x²-x-2 dư 2x-3.

Để tìm các hằng số a, b sao cho đa thức f(x) = x^4 - x^3 - 3x^2 + ax + b chia cho đa thức g(x) = x² - x - 2 với số dư là r(x) = 2x - 3, ta thực hiện các bước sau:

1. Ta biết rằng nếu một đa thức f(x) chia cho g(x) thì sẽ có dạng:
f(x) = g(x) * Q(x) + r(x)
Trong đó Q(x) là thương (một đa thức có bậc cao hơn bậc của g(x) - 1, trong trường hợp này, g(x) có bậc 2, nên Q(x) sẽ có bậc 2).

2. Đầu tiên, ta cần viết g(x) thành các nhân tử của nó. Gọi g(x) = x² - x - 2, ta có thể phân tích thành:
g(x) = (x - 2)(x + 1)

3. Chúng ta có r(x) = 2x - 3. Do đó, ta có:
f(x) = g(x) * Q(x) + r(x)

4. Để tìm Q(x) và các hằng số a, b, ta cần thực hiện phép chia đa thức. Tuy nhiên, r(x) có bậc nhỏ hơn g(x), và để Q(x) có thể có bậc 2, chúng ta sẽ giả sử:
Q(x) = c2x^2 + c1x + c0.

5. Theo đó, ta có thể viết lại f(x) như sau:
f(x) = (x² - x - 2)(c2x^2 + c1x + c0) + (2x - 3)

6. Khi mở rộng bên phải, ta thu được:
f(x) = (c2x^4 + (c1 - 2c2)x^3 + (-c1 - 2c0 + c2)*x^2 + (2c0 - 3)).

7. Đối chiếu với f(x) = x^4 - x^3 - 3x^2 + ax + b, ta có:
- c2 = 1 (hệ số x^4),
- c1 - 2 * c2 = -1 ⇒ c1 - 2 = -1 ⇒ c1 = 1,
- -c1 - 2c0 + c2 = -3 ⇒ -1 - 2c0 + 1 = -3 ⇒ -2*c0 = -3 ⇒ c0 = 3/2,
- 2c0 - 3 = b ⇒ 2(3/2) - 3 = b ⇒ b = 3 - 3 = 0,
- a = 2c2 + 2c0 - 3 ⇒ a = 21 + 2(3/2) - 3 ⇒ a = 2 + 3 - 3 = 2.

Cuối cùng, chúng ta có:
a = 2,
b = 0.

Vậy cặp (a, b) cần tìm là (2, 0).