Tìm Max C = (3x-4)/(x^2+1)

Để tìm giá trị lớn nhất của hàm số \( C = \frac{3x-4}{x^2+1} \), ta thực hiện các bước sau:

1. Tìm đạo hàm: Định nghĩa hàm \( C \), ta sẽ tìm đạo hàm của nó để xác định các cực trị. Sử dụng quy tắc đạo hàm của thương, ta có:

\[
C' = \frac{(3)(x^2+1) - (3x-4)(2x)}{(x^2+1)^2}
\]
\[
= \frac{3x^2 + 3 - (6x^2 - 8x)}{(x^2+1)^2}
\]
\[
= \frac{3x^2 + 3 - 6x^2 + 8x}{(x^2+1)^2}
\]
\[
= \frac{-3x^2 + 8x + 3}{(x^2+1)^2}
\]

2. Tìm giá trị cực trị: Để tìm các giá trị cực trị, ta cần giải phương trình \( C' = 0 \):

\[
-3x^2 + 8x + 3 = 0
\]

Sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai:

\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]
với \( a = -3, b = 8, c = 3 \):

\[
x = \frac{-8 \pm \sqrt{8^2 - 4(-3)(3)}}{2(-3)}
\]
\[
= \frac{-8 \pm \sqrt{64 + 36}}{-6}
\]
\[
= \frac{-8 \pm \sqrt{100}}{-6}
\]
\[
= \frac{-8 \pm 10}{-6}
\]

Ta có hai nghiệm:

\[
x_1 = \frac{2}{-6} = -\frac{1}{3} \quad \text{và} \quad x_2 = \frac{-18}{-6} = 3
\]

3. Xác định các cực trị: Để xác định xem đây là cực đại hay cực tiểu, ta xem dấu của hàm đạo hàm \( C' \) trước và sau các điểm này.

- Với \( x = -\frac{1}{3} \):
- Chọn \( x = -1 \): \( C'(-1) > 0 \) (hàm tăng)
- Chọn \( x = 0 \): \( C'(0) < 0 \) (hàm giảm)
- Kết luận \( x = -\frac{1}{3} \) là cực đại.

- Với \( x = 3 \):
- Chọn \( x = 2 \): \( C'(2) < 0 \) (hàm giảm)
- Chọn \( x = 4 \): \( C'(4) > 0 \) (hàm tăng)
- Kết luận \( x = 3 \) là cực tiểu.

4. Tính giá trị cực đại: Thay \( x = -\frac{1}{3} \) vào hàm :

\[
C(-\frac{1}{3}) = \frac{3(-\frac{1}{3}) - 4}{(-\frac{1}{3})^2 + 1} = \frac{-1 - 4}{\frac{1}{9} + 1} = \frac{-5}{\frac{10}{9}} = -5 \cdot \frac{9}{10} = -\frac{45}{10} = -4.5
\]

Tính giá trị tại \( x = 3 \):

\[
C(3) = \frac{3 \cdot 3 - 4}{3^2 + 1} = \frac{9 - 4}{9 + 1} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}
\]

5. Kết luận: Giá trị lớn nhất của \( C \) là tại \( x = -\frac{1}{3} \) với giá trị \( C = -4.5 \). Do đó, cùng với giá trị lớn nhất trong toàn bộ miền của hàm, ta xác nhận:

Max \( C = \frac{1}{2} \) tại \( x = 3 \).