Bài 5: Cho tam giác ABC cân tại A, trung tuyến AM, 1 là trung điểm AC, K là trung điểm AB, E là trung điểm AM. Gọi N là điểm đối xứng của M qua 1 a) Chứng minh tứ giác AKMI là hình thoi b) Tứ giác AMCN, MKICIà hình

a) Để chứng minh tứ giác AKMI là hình thoi, ta cần chỉ ra rằng hai cặp cạnh đối diện của tứ giác này bằng nhau.

1. AK = KB (vì K là trung điểm AB)
2. AM = MI (vì M là trung điểm AC và bởi tính chất trung tuyến,AM = 1/2 AC)
3. Từ (1) và (2), ta có AK = MI.

Tiếp theo, ta cần chỉ ra rằng các đường chéo của tứ giác AKMI cắt nhau tại trung điểm của chúng.
1. Xét đường chéo AI và KM. Do M là trung điểm AC nên AE = EM.
2. Do K là trung điểm AB nên AK = KB.

Vì thế AE = EM và K là trung điểm của AI => AKMI là hình thoi.

b) Xét tứ giác AMCN và MKI.

1. Tứ giác AMCN có các cạnh AM, AC, AN, MC.
2. Chúng ta có KN = NM (điểm N là đối xứng của M qua A, nên AN = AM và N thuộc đường cao hạ từ A).

Điều này nghĩa là tứ giác AMCN là hình bình hành, vì nó có một cặp cạnh đối diện bằng nhau. Đồng thời, nếu AM = AC (là trung tuyến) thì nó còn có thể là hình chữ nhật.

c) Để chứng minh E là trung điểm BN, trước tiên ta cần xác định vị trí của B và N.

1. B là trung điểm của AB, M là trung điểm của AC, và N là điểm đối xứng của M qua A.
2. Theo tính chất đối xứng, AN = AM = AE = EM.

Vì vậy E là trung điểm của bất kỳ đoạn thẳng nào nối điểm B và N. Do đó, E là trung điểm của BN.

d) Để tứ giác AMCN là hình vuông, ta cần chứng minh rằng tất cả các cạnh AM, MC, CN, và AN đều bằng nhau và hai đường chéo AC = MN cắt nhau tại trung điểm chính là E.

Điều này có thể xảy ra khi tam giác ABC là tam giác đều, nghĩa là tất cả các cạnh của nó đều bằng nhau. Khi đó, AM = MC = AN = CN, đồng thời góc AEB = 90 độ (do AM vuông góc với BC tại M).

Điều kiện này là: A = B mà A, B, C đều bằng nhau, tức khi ABC là tam giác đều.