Giúp mik nha mọi người

Cho S = 2^0 + 2^1 + 2^2 + ... + 2^103, công thức tính tổng của dãy số này có dạng:

S = a * (r^n - 1) / (r - 1)

Trong đó:
- a là số hạng đầu (ở đây a = 2^0 = 1)
- r là tỷ lệ chung (ở đây r = 2)
- n là số hạng cuối (ở đây n = 103)

Áp dụng vào công thức:

S = 1 * (2^(104) - 1) / (2 - 1)
= 2^104 - 1

Bây giờ chúng ta sẽ giải từng phần a, b, c, d, e.

a) Tìm S mod 3:
Để tính S mod 3, ta cần tìm 2^k mod 3. Nhận thấy rằng:
- 2^0 mod 3 = 1
- 2^1 mod 3 = 2
- 2^2 mod 3 = 1
- 2^3 mod 3 = 2

Dễ dàng nhận thấy rằng 2^k mod 3 có quy luật: nếu k chẵn, thì 2^k mod 3 = 1, nếu k lẻ, thì 2^k mod 3 = 2.
Trong dãy số từ k = 0 đến 103 có 52 số chẵn và 52 số lẻ (cụ thể là số chẵn: 0, 2, 4, ..., 102 và số lẻ: 1, 3, 5, ..., 103).
Tổng S mod 3 = 52 1 + 52 2 mod 3 = 52 + 104 mod 3 = 156 mod 3 = 0.

b) Tìm S mod 15:
S = 2^104 - 1.
Chúng ta tính S mod 15 bằng cách tách thành tử số mod 3 và mod 5, rồi áp dụng định lý số dư Trung Quốc (CRT).

S mod 3 đã tính được là 0.
S mod 5: 2^k mod 5 cũng có quy luật:
- 2^0 mod 5 = 1,
- 2^1 mod 5 = 2,
- 2^2 mod 5 = 4,
- 2^3 mod 5 = 3,
- 2^4 mod 5 = 1 (sau đó lập lại).

Nhận thấy chu kỳ là 4. Tính 104 mod 4 = 0, nên 2^104 mod 5 = 1.
S mod 5 = 1 - 1 = 0.

Vì S mod 3 = 0 và S mod 5 = 0, nên S mod 15 = 0.

c) Tìm số dư của S khi chia cho 7:
S mod 7 có thể sử dụng chu kỳ như sau:
2^k mod 7:
- 2^0 mod 7 = 1,
- 2^1 mod 7 = 2,
- 2^2 mod 7 = 4,
- 2^3 mod 7 = 1 (chu kỳ lại từ đầu).

Chu kỳ là 3, vì 104 mod 3 = 2, nên 2^104 mod 7 = 4 và S mod 7 = 4 - 1 = 3.

d) Tìm chữ số tận cùng của S:
Chữ số tận cùng của S là chữ số tận cùng của 2^104 - 1.
Chúng ta chỉ cần tìm chữ số tận cùng của 2^104. Chữ số tận cùng của số mũ 2 là 0 nếu mũ lớn hơn hoặc bằng 10, vì vậy 2^104 sẽ có tận cùng là 0.
Chữ số tận cùng của S là 0 - 1 = 9.

e) Số sánh S với 2^104:
S = 2^104 - 1, nên S < 2^104 vì 2^104 - 1 luôn nhỏ hơn 2^104.