tìm cặp số nguyên x,y thỏa mãn : 2x²-2xy+4x-3y=1

Để tìm cặp số nguyên x, y thỏa mãn phương trình 2x² - 2xy + 4x - 3y = 1, chúng ta sẽ tiến hành một số bước như sau:

1. Sắp xếp lại phương trình:
Phương trình gốc là 2x² - 2xy + 4x - 3y = 1. Ta đưa 1 sang phía bên trái:
2x² - 2xy + 4x - 3y - 1 = 0.

2. Xét phương trình như một đa thức bậc hai theo x:
2x² - (2y - 4)x + (-3y - 1) = 0.
Ở đây, a = 2, b = -(2y - 4) và c = -3y - 1.

3. Để phương trình có nghiệm nguyên x, delta phải là số chính phương:
Delta (Δ) = b² - 4ac.
Δ = (2y - 4)² - 4 2 (-3y - 1)
= (2y - 4)² + 8(3y + 1)
= 4y² - 16y + 16 + 24y + 8
= 4y² + 8y + 24.
Ta cần Δ = k² với k là số nguyên.

4. Đặt Δ = k²:
4y² + 8y + 24 = k².
Chia cả hai vế cho 4, ta có:
y² + 2y + 6 = (k/2)².
Đặt m = k/2, ta có phương trình sau:
y² + 2y + 6 - m² = 0.

5. Giải phương trình theo y:
Delta của phương trình này là Δ' = 2² - 4 1 (6 - m²) = 4 - 24 + 4m² = 4m² - 20.
Để phương trình này có nghiệm, cần 4m² - 20 ≥ 0
hay m² ≥ 5, tức là |m| ≥ √5.

6. Xét các giá trị của m:
Với m là số nguyên, thì |m| = 3, 4, ... Cụ thể là khi m = ±3, ±4.
Từ đó, chúng ta có thể tính các giá trị y tương ứng từ phương trình y² + 2y + 6 = m².

7. Kiểm tra các giá trị nguyên của y:
- Với m = 3:
y² + 2y + 6 - 9 = 0 ⇒ y² + 2y - 3 = 0
⇒ (y + 3)(y - 1) = 0 ⇒ y = -3, 1.

- Với m = -3: y tương tự, y = -3, 1.

- Tiếp tục cho các giá trị m = ±4 nhưng kết quả sẽ giống hoặc không ra số nguyên.

8. Tính x tương ứng:
Khi có giá trị y, ta thay vào phương trình 2x² - (2y - 4)x + (-3y - 1) = 0 để tìm nghiệm x nguyên.

Ví dụ:
- Với y = 1:
2x² - 2(1)x + 4x - 3(1) - 1 = 0
⇒ 2x² + 2x - 6 = 0 ⇒ x² + x - 3 = 0.
Delta là 1 + 12 = 13, không có nghiệm nguyên.

- Với y = -3:
2x² - 2(-3)x + 4x - 3(-3) - 1 = 0
⇒ 2x² + 10x + 8 = 0 ⇒ x² + 5x + 4 = 0 ⇒ (x+4)(x+1) = 0.
Vậy x = -4, -1.

Do đó, cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn phương trình là: (-4, -3) và (-1, -3).