Giúp tôi với mọi người mọi người ơi giúp mik bài này với  tối nay tui nộp rùi

Để giải bài toán này, ta cần tìm điều kiện cho đường thẳng d cắt đường tròn C tại hai điểm phân biệt A và B.

1. Phương trình đường tròn (C): Đầu tiên, ta đưa phương trình đường tròn \( x^2 + y^2 + 2x + 4y - 4 = 0 \) về dạng chuẩn.

Ta thực hiện hoàn thành bình phương:
- Với \( x \): \( x^2 + 2x = (x+1)^2 - 1 \)
- Với \( y \): \( y^2 + 4y = (y+2)^2 - 4 \)

Thay vào, ta có:
\[
(x + 1)^2 + (y + 2)^2 - 5 = 0 \quad \Rightarrow \quad (x + 1)^2 + (y + 2)^2 = 5
\]
Đường tròn C có tâm \( (-1, -2) \) và bán kính \( r = \sqrt{5} \).

2. Phương trình đường thẳng (d): Đường thẳng \( d: x + y - 2m + 3 = 0 \) có thể viết lại là \( y = -x + 2m - 3 \).

3. Điều kiện cắt nhau: Để đường thẳng d cắt đường tròn C tại hai điểm, ta thay \( y \) vào phương trình đường tròn.
\[
(x + 1)^2 + (-x + 2m - 3 + 2)^2 = 5
\]
Giải phương trình này:
\[
(x + 1)^2 + (-x + 2m - 1)^2 = 5
\]
Sau đó, ta phát triển và rút gọn phương trình bậc hai ở dạng \( ax^2 + bx + c = 0 \).

4. Tính delta: Để có hai nghiệm phân biệt, ta cần \(\Delta > 0\).
\[
\Delta = b^2 - 4ac > 0
\]
Công thức delta sẽ phụ thuộc vào các hệ số a, b, c mà ta đã tìm được ở bước trước.

5. Chuẩn hóa: Bình phương các hệ số và giải ra điều kiện m. Bằng cách nào đó, kết quả kiếm được sẽ cho giá trị cụ thể cho m.

6. Chiều dài đoạn AB: Từ điểm A và B, sử dụng công thức tính khoảng cách giữa hai điểm trong mặt phẳng:
\[
d = \sqrt{(x_A - x_B)^2 + (y_A - y_B)^2}
\]

7. Diện tích ΔAB: Áp dụng công thức:
\[
S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot h
\]
với h là chiều cao từ một trong các điểm A, B đến đường d.

Sau khi tính toán các bước trên, ta sẽ tìm được giá trị hợp lý cho m để diện tích của tam giác ΔAB lớn nhất, đồng thời chứng minh điều kiện phù hợp cho đoạn cắt nhau.