Bài 4. (3,5 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi H là trung điểm của BC. Từ H kẻ HM, HN lần lượt vuông góc với AB, AC tại M và N. Đường thẳng đi qua H và song song với AC cắt AB tại điểm D. a) Chứng

a) Để chứng minh tam giác ABH = tam giác ACH, ta xem xét các yếu tố của nó.

- Hai tam giác này đều có cạnh AH chung.
- H là trung điểm của BC, nên HB = HC.
- Góc ABH = góc ACH (do đường thẳng HM vuông góc với AB và HN vuông góc với AC).

Do đó, theo tiêu chí cạnh-góc-cạnh (c.g.c), ta có tam giác ABH = tam giác ACH.

Vì \( \triangle ABH = \triangle ACH \) và AH là cạnh chung, nên AH cũng là tia phân giác của góc \( BAC \).

b) Để so sánh độ dài BH và HN, xét các tam giác vuông HBM và HCN:

- Cả hai tam giác này đều vuông tại các điểm M và N.
- HM = HN (vì đều từ H vuông góc ra cạnh AB và AC).
- Ở mỗi tam giác, BH và CN đều là chiều cao từ H đến các cạnh.

Từ đó, ta có thể thấy BH < HN nếu M cách H gần hơn so với HN, tức là chiều cao từ H đến cạnh đó. Bởi vì hai cạnh này được xác định từ trung điểm H, có thể tổng kết rằng độ dài HK < HN.

c) Để chứng minh ADH là tam giác cân, ta cần chứng minh rằng AD = DH.

- Ta có điểm D nằm trên đường chéo kẻ từ H, và theo tính chất vuông góc của HM, các tam giác ABH và ACH đã cho, nên mà AC = AB, và H là trung điểm của BC.
- Vì vậy, chiều dài của hai đoạn thẳng AB và AC sẽ tạo ra sự đối xứng với trung điểm H, do đó AD = DH.

d) Chứng minh rằng \( CD < \frac{AC + BC}{2} \):

- Gọi C là một điểm trên AC. Ta có thể áp dụng bất đẳng thức tam giác để chỉ ra rằng tổng chiều dài của hai cạnh AC và BC lớn hơn chiều dài cạnh đối diện là CD.
- Vì vậy, \( CD < AC + BC \). Chia cho 2, ta có \( CD < \frac{AC + BC}{2} \).

Như vậy, các phần đã được chứng minh và so sánh theo yêu cầu của bài toán.