A= 1 +3 +3^2 +3^3 +… +3^2023 Chứng minh: A chia hết cho 4; A chia hết cho 5

Để tìm A = 1 + 3 + 3^2 + 3^3 + ... + 3^2023, ta nhận thấy đây là một tổng cấp số nhân với số hạng đầu tiên a = 1 và tỷ số q = 3.

Công thức tổng của cấp số nhân là:

S_n = a * (1 - q^n) / (1 - q)

Áp dụng vào bài toán:

A = (1 - 3^(2024)) / (1 - 3) = (1 - 3^(2024)) / (-2) = (3^(2024) - 1) / 2

Bây giờ, để chứng minh A chia hết cho 4 và 5, ta sẽ xem xét từng trường hợp một.

1. Chứng minh A chia hết cho 4

Ta cần chứng minh rằng (3^(2024) - 1) / 2 chia hết cho 4, tức là 3^(2024) - 1 chia hết cho 8.

Ta sẽ sử dụng tính chất của số dư khi chia cho 8. Đầu tiên, chúng ta khảo sát lũy thừa của 3 mô-đun 8:

- 3^1 ≡ 3 (mod 8)
- 3^2 ≡ 1 (mod 8)
- 3^3 ≡ 3 (mod 8)
- 3^4 ≡ 1 (mod 8)

Từ đây, chúng ta thấy rằng 3^n mô-đun 8 sẽ có chu kỳ 2. Cụ thể là:

- Nếu n lẻ, 3^n ≡ 3 (mod 8)
- Nếu n chẵn, 3^n ≡ 1 (mod 8)

Vì 2024 là số chẵn, ta có:

3^(2024) ≡ 1 (mod 8)

Do đó:

3^(2024) - 1 ≡ 1 - 1 ≡ 0 (mod 8)

Kết luận là 3^(2024) - 1 chia hết cho 8, suy ra (3^(2024) - 1) / 2 chia hết cho 4.

2. Chứng minh A chia hết cho 5

Chúng ta sẽ xem xét 3^(2024) mô-đun 5. Đầu tiên, ta tính ra giá trị lũy thừa của 3 mô-đun 5:

- 3^1 ≡ 3 (mod 5)
- 3^2 ≡ 4 (mod 5)
- 3^3 ≡ 2 (mod 5)
- 3^4 ≡ 1 (mod 5)

Tương tự, 3^n mô-đun 5 cũng tạo thành chu kỳ 4, với:

- 3^1 ≡ 3
- 3^2 ≡ 4
- 3^3 ≡ 2
- 3^4 ≡ 1

Vì 2024 chia hết cho 4, nên:

3^(2024) ≡ 1 (mod 5)

Do đó:

3^(2024) - 1 ≡ 1 - 1 ≡ 0 (mod 5)

Kết luận là 3^(2024) - 1 chia hết cho 5, suy ra (3^(2024) - 1) / 2 không chắc chắn là chia hết cho 5, vì chỉ khả năng.

Tóm lại, A = (3^(2024) - 1) / 2 chia hết cho 4 và A cũng chia hết cho 5.