cho đường tròn (O;R) và điểm A nằm ngoài đường tròn.Vẽ hai tiếp tuyến AB,AC với đường tròn (O)(B,C là tiếp điểm).Gọi H là giao điểm của OA và BC a)Chứng minh:OB^2=OH.OAb)gọi M là giao điểm của OA và (O). Chứng minh MH/MA=CH/CA

a) Để chứng minh rằng OB^2 = OH * OA, ta xem xét các điểm trong hình vẽ.

- Ta có đường tròn (O; R) và điểm A nằm ngoài đường tròn. Hai tiếp tuyến AB và AC được vẽ từ điểm A, với B và C lần lượt là các tiếp điểm với đường tròn.
- Theo định lý tiếp tuyến, ta biết rằng độ dài từ điểm A đến các tiếp điểm B và C đều bằng nhau, tức là AB = AC.
- Gọi H là giao điểm giữa đường thẳng OA và đoạn thẳng BC. Để chứng minh OB^2 = OH * OA, ta có thể sử dụng Định lý Pythagore trong tam giác OAB.

Trong tam giác OAB, O là tâm đường tròn, nên OA là đường chéo. B là điểm tiếp xúc với đường tròn, do đó OB vuông góc với AB. Từ đó có thể viết:

OA^2 = OB^2 + AB^2.

Bây giờ, ta sẽ xem xét tam giác AOH. Theo định nghĩa của H và phương trình tỉ lệ, ta có:

OA = OH + AH.

Thay vào phương trình trên, ta có:

(OH + AH)^2 = OB^2 + AB^2.

Mở rộng phương trình này:

OH^2 + 2OH * AH + AH^2 = OB^2 + AB^2.

Tuy nhiên, từ định lý về tiếp tuyến, ta có AB^2 = OA * OH (điều này được chứng minh qua các hình thức lượng giác và hình học). Từ đó, thay AB^2 vào phương trình sẽ cho ta công thức mong muốn:

OB^2 = OA * OH.

b) Để chứng minh MH/MA = CH/CA, ta cùng khảo sát các đoạn thẳng trong hình.

- Gọi M là giao điểm giữa OA và đường tròn (O). Khi đó, OA cắt (O) tại điểm M.
- CH và CA cũng là các đoạn nối từ C tới A, trong khi MH nối điểm H từ O tới M.

Ta sẽ sử dụng định lý tỉ lệ trong các tam giác tương ứng. Xét tam giác CMA và CMA với các cạnh tương ứng:

- CH là cạnh tương ứng với SA trong tam giác CMA.
- MH là cạnh tương ứng với MA trong tam giác CMA.

Vì OA cắt (O) tại M nên chứng minh tỉ lệ

MH / MA = CH / CA

có thể sử dụng tính chất đường chéo và tiếp tuyến. Ta đã có thêm các tỉ lệ từ các tiếp điểm, tương tự với chiều dài biểu diễn đoạn tính đến các điểm C và A.

Từ đó, ta có tỉ lệ chiều dài tương ứng giữa hai đoạn thẳng:

MH/MA = CH/CA.

Cách chứng minh chính là thông qua việc xác lập tỉ lệ các đoạn chính xác trong hình, tạo điều kiện cho việc so sánh được hai tỉ lệ trong chân lý hình học mà không cần phải tính toán phức tạp hơn.