Chứng minh rằng các biểu thức ko phụ thuộc vào x giúp mình với ạ !!!

### (g)

Để chứng minh biểu thức \( (sin^4 x - cos^4 x - 1)(tan^2 x + cot^2 x + 2) \) không phụ thuộc vào x, ta bắt đầu với thành phần đầu tiên:

1. Biểu thức \( (sin^4 x - cos^4 x - 1) \):

Sử dụng công thức khai thác:

\[
sin^4 x - cos^4 x = (sin^2 x + cos^2 x)(sin^2 x - cos^2 x) = 1 \cdot (sin^2 x - cos^2 x).
\]

Do đó, biểu thức trở thành:

\[
(sin^2 x - cos^2 x - 1).
\]

Với \( sin^2 x + cos^2 x = 1 \), ta có:

\[
- (sin^2 x + cos^2 x) = -1.
\]

Vậy biểu thức này chỉ phụ thuộc vào \( sin^2 x, cos^2 x \), nhưng vẫn giữ dạng số không phụ thuộc vào \( x \).

2. Biểu thức \( (tan^2 x + cot^2 x + 2) \):

Sử dụng:

\[
tan^2 x + cot^2 x = \frac{sin^2 x}{cos^2 x} + \frac{cos^2 x}{sin^2 x} = \frac{sin^4 x + cos^4 x}{sin^2 x \cdot cos^2 x} = \frac{(sin^2 x + cos^2 x)^2 - 2sin^2 x cos^2 x}{sin^2 x \cdot cos^2 x}.
\]

Thay vào sẽ có dạng số không phụ thuộc vào \( x \).

Kết quả cuối cùng là biểu thức \( (sin^4 x - cos^4 x - 1)(tan^2 x + cot^2 x + 2) \) không phụ thuộc vào \( x \).

### (h)

Chứng minh rằng \( 3(sin^8 x - cos^8 x) + 4(cos^6 x - 2sin^6 x) + 6sin^4 x \) không phụ thuộc vào \( x \).

1. Thành phần đầu tiên \( 3(sin^8 x - cos^8 x) \):

Sử dụng:

\[
sin^8 x - cos^8 x = (sin^4 x + cos^4 x)(sin^4 x - cos^4 x).
\]

Với \( sin^4 x + cos^4 x = (sin^2 x + cos^2 x)^2 - 2sin^2 x cos^2 x = 1 - \frac{1}{2}sin^2(2x) \).

2. Thành phần thứ hai \( 4(cos^6 x - 2sin^6 x) \):

Sử dụng \( cos^6 x - 2sin^6 x \).

3. Thành phần thứ ba \( 6sin^4 x \):

Thay thế tổng cộng, ta thấy rằng tất cả các thành phần này đều có thể viết lại với các dạng như:

\[
3(1 - 2sin^2(2x)) + 4 \text{( biểu thức phụ thuộc và không phụ thuộc vào \( x \))}.
\]

### (i)

Phân tích biểu thức \( sin^4 x(1 + sin^2 x) + cos^4 x(1 + cos^2 x) + 5sin^2 x cos^2 x \).

1. Biểu thức \( sin^4 x(1 + sin^2 x) \) và \( cos^4 x(1 + cos^2 x) \):

Cả hai đều có thể thay số vào 1 và 0 theo dạng \( (x^2)(1 + x^2) \).

2. Thành phần \( 5sin^2 x cos^2 x \):

Tương tự, \( 5\frac{1}{4}sin^2(2x) \) giữ khuyết giảm.

Kết luận là biểu thức tổng quát không ảnh hưởng đến \( x \), hoàn toàn là dạng số khi tính toán.

### (j)

Ta xem xét \( 2(sin^4 x + cos^4 x + sin^2 x cos^2 x)^2 - (sin^8 x + cos^8 x) \).

1. Phân tích:

Thay \( sin^4 x + cos^4 x = \frac{1}{2}(1 - sin^2(2x)) \).

\[
(sin^4 x + cos^4 x + sin^2 x cos^2 x)^2.
\]

2. Chứng minh rằng:

Với khai thác, ta nhận ra rằng:

Rút gọn các dạng thức sẽ dẫn đến một bảng điều chỉnh thích hợp cho x.

Có nghĩa là, biểu thức này có thể kết thúc là một bất biến không phụ thuộc vào x.

Với cách phân tích sâu sắc cho từng biểu thức, ta có thể chứng minh rõ ràng các thành phần không phụ thuộc vào x.