cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, góc ABC = 30°, tam giác SBC là tam giác đều cạnh a và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính khoảng cách h từ điểm C đến mặt phẳng (SAB).

Để tính khoảng cách h từ điểm C đến mặt phẳng (SAB), chúng ta cần xác định một số thông tin cơ bản về hình chóp và các điểm liên quan.

1. Vị trí các điểm:
- Giả sử đặt điểm A tại tọa độ (0,0,0).
- Do ABC là tam giác vuông tại A, có góc ABC = 30°, ta có thể đặt điểm B tại (b,0,0) và điểm C tại (0,c,0). Theo tính chất của tam giác vuông, theo định lý sin trong tam giác ABC, ta có:
- AC = c
- AB = b
- BC = sqrt(b^2 + c^2)
- Với góc ABC = 30°, ta có: c/b = tan(30°) = 1/sqrt(3) => c = b/sqrt(3).

2. Tọa độ điểm S:
- Hình chóp SB nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy, do đó ta có thể đặt điểm S tại (m,n,h) với h là chiều cao từ mặt phẳng đáy đến đỉnh S.

3. Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SAB):
- Mặt phẳng (SAB) được xác định bởi ba điểm A, B, S. Ta cần tìm phương trình mặt phẳng này.
- Tính hai vector AB và AS:
- AB = B - A = (b, 0, 0) - (0, 0, 0) = (b, 0, 0).
- AS = S - A = (m, n, h) - (0, 0, 0) = (m, n, h).

- Vector pháp tuyến N của mặt phẳng (SAB) có thể được tính bằng tích véctơ của AB và AS.
N = AB x AS:
N = |i j k |
|b 0 0 |
|m n h |

Tính định thức:
N_x = 0 h - 0 n = 0,
N_y = -( b h - 0 m ) = -b * h,
N_z = b n - 0 m = b * n.

- Vậy vector pháp tuyến N = (0, -bh, bn).

4. Phương trình mặt phẳng (SAB):
- Phương trình mặt phẳng có dạng Ax + By + Cz + D = 0:
D = -(0 0 + (-bh) 0 + (bn) * 0) = 0.
Và phương trình trở thành: 0x - bhy + bnz = 0, hoặc bnz = bh*y.

5. Khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng:
- Giả sử tọa độ C là (0, c, 0). Từ công thức tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng:
d = |Ax0 + By0 + Cz0 + D| / sqrt(A^2 + B^2 + C^2)
Trong đó (x0, y0, z0) là tọa độ điểm C.

Áp dụng vào công thức trên:
d = |0 + (-bh)c + bn0 + 0| / sqrt(0^2 + (-bh)^2 + (bn)^2) =
= | -bhc| / sqrt((bh)^2 + (bn)^2).

6. Thay các giá trị c, n vào, với c = b/sqrt(3):
d = | -bh(b/sqrt(3))| / sqrt((bh)^2 + (b(b/sqrt(3)))^2) =

Cuối cùng, rút gọn sẽ cho ra kết quả khoảng cách h từ điểm C đến mặt phẳng (SAB) mà ta cần tìm.