cussssssssssssssssssssssssssssssssssss

Để chứng minh rằng biểu thức A = 1/2² + 1/3² + 1/4² + 1/5² + 1/6² + 1/7² + 1/8² + 1/9² + 1/10² < 1, ta sẽ xem xét các phần tử trong tổng.

Trước tiên, hãy tính toán riêng các phần tử trong tổng:

1. 1/2² = 1/4 = 0.25
2. 1/3² = 1/9 ≈ 0.1111
3. 1/4² = 1/16 = 0.0625
4. 1/5² = 1/25 = 0.04
5. 1/6² = 1/36 ≈ 0.0278
6. 1/7² = 1/49 ≈ 0.0204
7. 1/8² = 1/64 = 0.015625
8. 1/9² = 1/81 ≈ 0.0123
9. 1/10² = 1/100 = 0.01

Bây giờ, cộng các giá trị này lại với nhau:

A = 0.25 + 0.1111 + 0.0625 + 0.04 + 0.0278 + 0.0204 + 0.015625 + 0.0123 + 0.01

Tính tổng:

0.25 + 0.1111 = 0.3611
0.3611 + 0.0625 = 0.4236
0.4236 + 0.04 = 0.4636
0.4636 + 0.0278 ≈ 0.4914
0.4914 + 0.0204 ≈ 0.5118
0.5118 + 0.015625 ≈ 0.5274
0.5274 + 0.0123 ≈ 0.5397
0.5397 + 0.01 = 0.5497

Như vậy, A ≈ 0.5497.

Để khẳng định rằng A < 1, chúng ta thấy rằng tổng các phần tử đã tính ra là nhỏ hơn 1. Mỗi phần tử trong tổng đều là một phân số của dạng 1/n², trong đó n > 1, do đó các giá trị này sẽ càng nhỏ hơn khi n tăng.

Điều này xác nhận rằng tổng A sẽ luôn nhỏ hơn 1 vì từng phần tử trong tổng đều dương và đã tính tổng cho chúng ta thấy rõ ràng rằng A không đạt đến 1.

Thêm vào đó, có một tính chất của dãy số 1/n², đó là nó hội tụ, và tổng của dãy này từ n=2 trở lên càng cho thấy rằng giá trị tổng của các số hạng này là không vượt quá 1.

Vậy ta đã chứng minh được A < 1.