Xét tính đúng sai của mệnh đề sau `a)` Cho `alpha ∈ (pi/2 ; pi)` biết `sinalpha = 1/3`. Khi đó `cos(alpha - pi/6) = (1 - msqrt6)/n` và `m.n < 0` `b)` Nếu `cos2x = a` thì `sin(x + pi/3) . sin (x + pi/3) = (-1 + ab)/4 (a,b ∈

a) Ta có `alpha ∈ (pi/2 ; pi)`, tức là góc `alpha` nằm trong khoảng từ `90 độ` đến `180 độ`, nên `sinalpha = 1/3` là đúng.

Sử dụng công thức lượng giác, ta sẽ tính `cos(alpha)`:

`cos^2(alpha) + sin^2(alpha) = 1`

=> `cos^2(alpha) + (1/3)^2 = 1`

=> `cos^2(alpha) + 1/9 = 1`

=> `cos^2(alpha) = 1 - 1/9`

=> `cos^2(alpha) = 8/9`

=> `cos(alpha) = -√(8/9)` (bởi vì `alpha` nằm trong khoảng từ `pi/2` đến `pi`, cos trong khoảng này là âm)

=> `cos(alpha) = -2√2/3`.

Tiếp theo, tính `cos(alpha - pi/6)`. Dùng công thức biến thiên:

`cos(alpha - pi/6) = cos(alpha)cos(pi/6) + sin(alpha)sin(pi/6)`

Biết rằng:

`cos(pi/6) = √3/2` và `sin(pi/6) = 1/2`, ta có:

`cos(alpha - pi/6) = (-2√2/3)(√3/2) + (1/3)(1/2)`

`= -√6/3 + 1/6`

`= (-2√6 + 1)/6.`

Chúng ta có thể đưa ra biểu thức:

`cos(alpha - pi/6) = (1 - 2√6)/6`.

Tiếp theo, ta cần kiểm tra điều kiện `m.n < 0`. Để cho `m.n < 0`, ít nhất một trong `m` hoặc `n` phải âm hoặc dương. Theo biểu thức, nếu `m = 1` và `n = 6`, thì `m.n = 6 > 0`, như vậy điều kiện này không thỏa mãn. Mặt khác, nếu `m = 1` và `n = -(2√6)`, thì `m.n < 0`. Vậy ta có:

Kết luận: Mệnh đề này có thể đúng trong một số trường hợp nhưng không đúng trong tất cả các trường hợp, vì vậy kết luận không đúng.

b) Ta có `cos(2x) = a`, tức là `2x = ±acos` (khi `a` trong khoảng từ -1 đến 1).

Từ `cos(2x)`, ta sẽ tìm `sin(x + pi/3)`. Sử dụng công thức tổng:

`sin(x + pi/3) = sin(x)cos(pi/3) + cos(x)sin(pi/3)`

Biết rằng `cos(pi/3) = 1/2` và `sin(pi/3) = √3/2`, như vậy:

`sin(x + pi/3) = sin(x)(1/2) + cos(x)(√3/2)`.

Khi tính `sin(x + pi/3) * sin(x + pi/3)`, ta có:

`(sin(x + pi/3))^2 = (sin(x)(1/2) + cos(x)(√3/2))^2`.

Áp dụng luật bình phương tổng:

`= (1/4)(sin^2(x)) + sqrt3/2 * sin(x)cos(x) + (3/4)(cos^2(x))`

Áp dụng công thức Pythagorean:

`= (1/4)(1) + (1/4)(cos(2x)) + (3/4)(1-cos(2x))`.

Do đó ta có:

`= 1/4 + (1/4-3/4)cos(2x)`.

Nhưng ta biết rằng `cos(2x) = a` nên `= (1 - a)/4`.

Kết luận: Mệnh đề của câu b có thể xác định điều kiện b > 0, điều này sẽ đúng nếu như `a < 1`.