Cho tam giác ABC vuông tại A. điểm D trên cạnh BC. Hạ DM vuông góc AB, DN vuông góc với AC a) Tứ giác AMDN là hình gì?

a) Tứ giác AMDN là một hình chữ nhật.

Giải thích: Trong tam giác vuông ABC có điểm D trên cạnh BC và điểm M nằm trên AB sao cho DM vuông góc với AB. Do đó, AM vuông góc với DM. Tương tự, điểm N nằm trên AC sao cho DN vuông góc với AC, điều này có nghĩa là AN vuông góc với DN. Vì vậy, tứ giác AMDN có bốn góc vuông tại các đỉnh A, M, D và N. Điều này chứng tỏ rằng AMDN là một hình chữ nhật.

b) Gọi I là trung điểm của MN. Chứng minh rằng A, I, D thẳng hàng.

Giải thích: Từ tứ giác AMDN, vì AM vuông góc với DM và AN vuông góc với DN, nên MN là một đoạn thẳng nằm giữa hai đường vuông góc, và các đoạn AM và AN là các đường thẳng cắt nhau tại A. Trung điểm I của MN sẽ nằm trên đường thẳng nối giữa A và điểm D. Bởi vì A là giao điểm của hai đường vuông góc và D nằm trên BC, nên A, I, và D sẽ cùng nằm trên một đường thẳng.

c) Gọi AH là đường cao. Tính góc MHN.

Giải thích: Từ tứ giác AMDN, khi AH là đường cao trong tam giác vuông ABC, tức là góc A = 90 độ. Để tính góc MHN, ta nhận thấy rằng M và N đều nằm trên các cạnh vuông góc với AH. Với tính chất của tam giác vuông và khái niệm của các góc trong tứ giác hình chữ nhật, góc MHN sẽ bằng với góc A trong tam giác vuông, tức là góc MHN = 90 độ. Do đó, góc MHN = 90 độ.