Chứng minh `(x+y+1)^2>=3(xy+x+y)`

Để chứng minh bất đẳng thức \( (x+y+1)^2 \geq 3(xy+x+y) \), chúng ta bắt đầu từ vế trái của bất đẳng thức và tiến hành phát triển xem vế bên trái có lớn hơn vế bên phải không.

Bước 1: Phát triển vế trái
\[
(x+y+1)^2 = x^2 + y^2 + 2xy + 2x + 2y + 1
\]

Bước 2: Phát triển vế phải
\[
3(xy + x + y) = 3xy + 3x + 3y
\]

Bước 3: Đặt bất đẳng thức
Ta cần chứng minh:
\[
x^2 + y^2 + 2xy + 2x + 2y + 1 \geq 3xy + 3x + 3y
\]

Bước 4: Rút gọn bất đẳng thức
Ta chuyển tất cả các thành phần về một phía:
\[
x^2 + y^2 + 2xy + 2x + 2y + 1 - 3xy - 3x - 3y \geq 0
\]
\[
x^2 + y^2 - xy - x - y + 1 \geq 0
\]

Bước 5: Nhóm các hạng tử lại
Ta nhóm lại:
\[
x^2 - xy + y^2 - x - y + 1 \geq 0
\]

Bước 6: Áp dụng định lý không âm
Ta sẽ xem xét biểu thức \( (x - y)^2 + (1 - x - y) \).
- Ký hiệu \( z = x + y \), vậy ta có:
\[
(x - y)^2 + (1 - z) \geq 0
\]
- Bởi vì \( (x - y)^2 \geq 0 \) và \( (1 - z) \geq -1 \) khi \( z \leq 1 \) (x+y ≤ 1).

Bước 7: Kết luận
Do đó, biểu thức tổng cộng \( (x - y)^2 + (1 - z) \) lúc nào cũng không âm, từ đó dẫn đến bất đẳng thức ban đầu là đúng:
\[
(x+y+1)^2 \geq 3(xy+x+y)
\]

Như vậy, bất đẳng thức đã được chứng minh.