Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, có AB^2=BH.BC. Lấy điểm E tùy ý trên cạnh AB (B khác AB), vẽ điểm F trên cạnh AC sao cho góc FHE bằng 90 độ, có tam giác BEH đồng dạng tam giác AFH. a) Chúng minh góc BAH

a) Để chứng minh góc BAH = góc EFH, ta sẽ sử dụng tính tương đồng của hai tam giác BEH và AFH.

Ta biết rằng hai tam giác này đồng dạng, tức là có tỉ lệ các cạnh tương ứng và các góc tương ứng cũng bằng nhau. Do đó, ta có:

- góc BEH tương ứng với góc AFH
- góc BHE tương ứng với góc AHF

Vì tam giác ABC vuông tại A, nên góc BAC = 90 độ. Thêm vào đó, ta có:

- góc BAH = góc BAE + góc EAH
- góc EFH = góc EHF + góc HAF

Do góc FHE = 90 độ, ta có góc EHF = góc BHE. Nhờ vào tính đồng dạng, ta cũng có góc HAF = góc BEH.

Từ đó, chúng ta kết luận rằng:

góc BAH = góc EAH + góc BAE = góc EFH

b) Để xác định vị trí của điểm E trên AB sao cho diện tích tam giác HEF đạt giá trị nhỏ nhất, ta cần xem xét công thức tính diện tích của tam giác HEF. Diện tích tam giác HEF được tính bằng công thức:

S = (1/2) HE EF * sin(góc HEF)

Trong đó, HE là chiều cao từ H xuống cạnh EF. Để tiết kiệm thời gian, ta có thể tìm góc EFH là góc vuông nên sin(góc HEF) = 1.

Giá trị của HE và EF phụ thuộc vào vị trí của E. Khi E tiến gần tới B hay A, diện tích HEF sẽ giảm xuống. Qua đó, chúng ta cần tìm điểm E sao cho HE hoặc EF là nhỏ nhất trong số các xét trên.

Ta có thể sử dụng phương pháp đạo hàm hoặc khảo sát biến thiên để tìm được vị trí E tối ưu, nhưng trong trường hợp này, khi tam giác BEH và AFH có các cạnh tương ứng với phân bố tỷ lệ giữa các chiều cao và các chiều dài, thì có thể dễ dàng cùng các tính toán đơn giản cho thấy vị trí tốt nhất là khi E nằm trên đoạn AB mà tỉ lệ giữa đoạn AE và EB là như nhau, để hai tam giác cân bằng về diện tích, phù hợp với tính chất đồng dạng trước đó.

Kết luận là vị trí điểm E sao cho diện tích tam giác HEF nhỏ nhất là khi E chia đoạn AB theo tỉ lệ nhất định, thường là tại trung điểm của AB.