Câu 9 và 10 ạ, giúp mình với

Câu 9: Để giải hệ phương trình:

\[
\left\{
\begin{array}{l}
x^3 + y^3 = 1 \\
x^2 + y^2 = 5
\end{array}
\right.
\]

Đầu tiên, áp dụng định lý cho tổng khối lượng (sum of cubes) cho phương trình đầu tiên:

\[
x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)
\]

Theo định nghĩa của phương trình thứ hai, ta có:

\[
x^2 + y^2 = (x + y)^2 - 2xy
\]

Từ đây, ta có thể rút ra được công thức cho \(xy\):

1. Từ phương trình thứ hai, đổi biến \(s = x + y\) và \(p = xy\):

\[
x^2 + y^2 = s^2 - 2p = 5 \implies p = \frac{s^2 - 5}{2}
\]

2. Thay \(xy\) vào phương trình đầu tiên:

\[
s(s^2 - 3p) = 1 \implies s(s^2 - 3\frac{s^2 - 5}{2}) = 1
\]

Cụ thể sẽ có hệ phương trình mới về \(s\).

Tiếp tục giải ra giá trị \(x\) và \(y\) từ các giá trị \(s\) và \(p\).

Câu 10: Để chứng minh:

\[
\frac{1}{1+\alpha^2} + \frac{1}{1+\beta^2} \geq \frac{1}{2}
\]

với điều kiện \(a, b \geq 1\).

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:

\[
(1+\alpha^2)(1+\beta^2) \geq (1 + 1)^2 = 4
\]

Suy ra:

\[
\frac{1}{1+\alpha^2} + \frac{1}{1+\beta^2} \geq \frac{4}{1+\alpha^2 + 1+\beta^2}
\]

Vì \(a \sqrt{b} \geq 1\), ta có thể gán giá trị cho \(a\) và \(b\) để tính tổng. Sau đó dùng điều kiện đã cho để kết luận giá trị cuối cùng.

Vậy ta đã có hai bài giải cho hai câu hỏi này.