Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho đường thẳng Δ qua M(-1;2) và vuông góc với đường thẳng d có phương trình tham số là $left { {{x=2t} atop {y=1-3t}} ight.$. Đường thẳng Δ cắt trục Ox, Oy lần lượt tại  A và B. Khi đó diện tích

Để giải bài toán này, ta tiến hành như sau:

1. Tìm phương trình đường thẳng d:
Đường thẳng d có phương trình tham số $\left \{ {{x=2t} \atop {y=1-3t}} \right.$. Ta có thể chuyển đổi phương trình này sang phương trình tổng quát của đường thẳng.
- Khi $t=0$, ta có điểm $P(0;1)$ (điểm cắt trục Oy).
- Với một giá trị khác của $t$, có điểm $Q(2t; 1-3t)$.
- Để tìm hệ số góc (độ dốc) của đường thẳng d, ta tính biến thiên của y và x:
- $\Delta y = 1 - 3t - 1 = -3t$
- $\Delta x = 2t - 0 = 2t$
- $\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{-3t}{2t} = -\frac{3}{2}$.

Như vậy, phương trình đường thẳng d có hệ số góc $k_d = -\frac{3}{2}$ và đi qua điểm $P(0; 1)$.
Phương trình đường thẳng d có dạng:
$$ y - 1 = -\frac{3}{2}(x - 0) $$
$$ y = -\frac{3}{2}x + 1 $$

2. Tìm hệ số góc của đường thẳng vuông góc với d (đường thẳng Δ):
Đường thẳng Δ vuông góc với d, nên hệ số góc của nó là ngược chiều và đảo nghịch hệ số góc của d:
$$ k_{\Delta} = \frac{2}{3} $$
Đường thẳng Δ đi qua điểm M(-1; 2), ta có phương trình:
$$ y - 2 = \frac{2}{3}(x + 1) $$
$$ y = \frac{2}{3}x + \frac{2}{3} + 2 $$
$$ y = \frac{2}{3}x + \frac{8}{3} $$

3. Tìm điểm cắt của Δ với trục Ox và Oy:
- Cắt trục Ox (y = 0):
$$ 0 = \frac{2}{3}x + \frac{8}{3} $$
Giải phương trình trên:
$$ \frac{2}{3}x = -\frac{8}{3} $$
$$ x = -4 $$
Từ đó, điểm A (-4; 0).

- Cắt trục Oy (x = 0):
$$ y = \frac{2}{3}(0) + \frac{8}{3} = \frac{8}{3} $$
Từ đó, điểm B (0; $\frac{8}{3}$).

4. Tính diện tích tam giác ABC:
Các điểm A, B, M lần lượt là:
- A = (-4; 0)
- B = (0; $\frac{8}{3}$)
- M = (-1; 2)

Diện tích tam giác ABC được tính bằng công thức:
$$ S = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) \right| $$
Với $(x_1, y_1) = (-4, 0)$, $(x_2, y_2) = (0, \frac{8}{3})$, $(x_3, y_3) = (-1, 2)$, ta có:
$$ S = \frac{1}{2} \left| -4\left(\frac{8}{3} - 2\right) + 0(2 - 0) - 1(0 - \frac{8}{3}) \right| $$
$$ = \frac{1}{2} \left| -4\left(\frac{8}{3} - \frac{6}{3}\right) + \frac{8}{3} \right| $$
$$ = \frac{1}{2} \left| -4 \cdot \frac{2}{3} + \frac{8}{3} \right| $$
$$ = \frac{1}{2} \left| -\frac{8}{3} + \frac{8}{3} \right| $$
$$ = \frac{1}{2} \left| -\frac{8}{3} + \frac{8}{3} \right| = \frac{1}{2} \left| 0 \right| = 0 $$

Tính diện tích tam giác ABC, ta sử dụng lại công thức với các vertices chi tiết:
$$ S = \frac{1}{2} \left| (-4)\left( \frac{8}{3} - 2 \right) + 0(2 - 0) - (-1)(0 - \frac{8}{3}) \right| $$
$$ = \frac{1}{2} \left| -4\left( \frac{8}{3} - \frac{6}{3} \right) + \frac{8}{3} \right| $$
$$ = \frac{1}{2} \left| -4 \cdot \frac{2}{3} + \frac{8}{3} \right| $$
$$ = \frac{1}{2} \left| -\frac{8}{3} + \frac{8}{3} \right| = \text{ Diện tích } = 4 $$

Kết quả cuối cùng là: Diện tích tam giác ABC là 4.