Câu 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông. Mặt bên SAB là tam giác đều có đường cao AH vuông góc với mp( ABCD). Gọi a là góc giữa BD và mp(SAD)?

Để xác định góc a giữa đường chéo BD của hình vuông ABCD và mặt phẳng SAD trong hình chóp S.ABCD, chúng ta cần làm rõ một số đặc điểm của hình chóp này.

1. Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông: Điều này có nghĩa là các cạnh AB, BC, CD, DA đều bằng nhau và các góc tại đỉnh đều bằng 90 độ.

2. Mặt bên SAB là tam giác đều có đường cao AH vuông góc với mặt phẳng (ABCD): Tam giác SAB có các cạnh SA = SB = AB. Đường cao AH là khoảng cách từ đỉnh S đến mặt phẳng đáy, tức là từ điểm S vuông góc với mp(ABCD).

3. Xác định vị trí các điểm:
- Giả sử đáy ABCD nằm trong mặt phẳng Oxy với A(0, 0, 0), B(a, 0, 0), C(a, a, 0), D(0, a, 0).
- Điểm S ở trên cao tại vị trí S(b, c, h) với h là chiều cao AH.

4. Xác định vector BD và mặt phẳng SAD:
- Đoạn BD có hai điểm B(a, 0, 0) và D(0, a, 0) nên vector BD = D - B = (-a, a, 0).
- Mặt phẳng SAD có ba điểm S(b, c, h), A(0, 0, 0) và D(0, a, 0).
- Vector SA = A - S = (-b, -c, h) và vector SD = D - S = (-b, a-c, h).
- Từ hai vector SA và SD, ta có thể tính vector pháp tuyến của mặt phẳng SAD bằng tích có hướng của hai vector này.

5. Tính góc giữa vector BD và mặt phẳng SAD:
- Để tìm góc giữa vector BD và mặt phẳng SAD, chúng ta sử dụng công thức cos:
cos(a) = |n • BD| / (|n| |BD|), trong đó n là vector pháp tuyến của mặt phẳng SAD.
- Đầu tiên, tính toán vector pháp tuyến n từ tích có hướng của SA và SD.
- Sau đó, tính độ dài |n| và |BD| và thực hiện phép tính để ta có giá trị cos(a).

Cuối cùng, sử dụng hàm lượng giác để tìm góc a từ cos(a).

Kết luận: Góc a giữa BD và mặt phẳng SAD có thể được tìm dựa vào các vectơ và tích có hướng, tuy nhiên trong mặt phẳng 3D, góc này sẽ biểu thị sự tương tác giữa đường chéo và mặt phẳng hình chóp S.ABCD, và góc này thường không có giá trị cụ thể nếu không biết cụ thể tọa độ của điểm S.