Cho đa giác đều có 15 đỉnh. Gọi M là tập tất cả các tam giác có ba đỉnh là ba đỉnh của đa giác đã cho. Chọn ngẫu nhiên một tam giác thuộc tập M, có bao nhiêu tam giác là một tam giác cân nhưng không phải là

Để giải bài toán, trước hết chúng ta cần xác định các tam giác có thể được tạo ra từ 15 đỉnh của đa giác đều.

Tổng số tam giác mà có thể tạo ra từ 15 đỉnh là:

C(15, 3) = 15! / (3! * (15 - 3)!) = (15 × 14 × 13) / (3 × 2 × 1) = 455

Bây giờ, chúng ta cần xác định số tam giác cân không đều trong số 455 tam giác này.

Tam giác cân có thể là một tam giác mà hai đỉnh của tam giác đó giống nhau và đỉnh còn lại khác với hai đỉnh còn lại. Tuy nhiên, trong một đa giác đều, hai đỉnh có chiều dài cạnh giống nhau và cùng một góc giữa chúng sẽ luôn tạo ra những tam giác đều khi lấy ba đỉnh liên tiếp.

Vì vậy, một tam giác cân mà không đều sẽ có dạng như sau: hai đỉnh của tam giác cân phải là hai đỉnh của đa giác và đỉnh ba sẽ là một đỉnh khác không liền kề với hai đỉnh đó.

Khi chúng ta chọn hai đỉnh khác nhau từ 15 đỉnh, có C(15, 2) cách chọn. Sau khi chọn hai đỉnh này, để chọn đỉnh thứ ba C(15 - 2, 1) mà không nằm trên hai đỉnh đã chọn. Mỗi cặp hai đỉnh sẽ tạo ra một tam giác cân với đỉnh thứ ba khác.

Tuy nhiên, để đảm bảo rằng tam giác không phải là tam giác đều, chúng ta cần loại bỏ những trường hợp mà ba đỉnh này tạo thành tam giác đều. Tất cả các tam giác đều đều sẽ có ba đỉnh liên tiếp trong đa giác, hoạt động này không phục vụ cho yêu cầu của bài toán.

Số tam giác đều có thể được xác định bằng số đỉnh chia cho ba là 15/3 = 5.

Như vậy, số tam giác cân không đều = (Số tam giác cân) - (Số tam giác đều):

Số tam giác cân = C(15, 2) (15 - 2) = 105 13 = 1365.

Tuy nhiên, vì mỗi tam giác chỉ chỉ tính một lần thì mỗi tam giác đều đã được tính nên:

Tổng số tam giác cân không phải đều = 1365 - 5 = 1360.

Vì vậy, số tam giác là một tam giác cân nhưng không là tam giác đều là 1360.