giải pt x-5/x + x-3/x+5 = x-25/x^2+5x x+7/x-7 - 7/x^2-7x = 1/x  làm chi tiết nha

Để giải hệ phương trình này, chúng ta sẽ bắt đầu từ phương trình đầu tiên:

1. Phương trình: \( \frac{x-5}{x} + \frac{x-3}{x+5} = \frac{x-25}{x^2 + 5x} \)

Trước hết, nhận thấy rằng \( x^2 + 5x = x(x + 5) \), chúng ta sẽ làm cho các phân số có cùng mẫu số. Để làm điều này, ta nhân mỗi phân số với mẫu số cần thiết:

Mẫu chung của các phân số ở đây là \( x(x + 5) \).

Biến đổi các phân số:

\[
\frac{x-5}{x} = \frac{(x-5)(x+5)}{x(x+5)} = \frac{(x^2 - 25)}{x(x + 5)}
\]

\[
\frac{x-3}{x+5} = \frac{(x-3)x}{(x+5)x} = \frac{x^2 - 3x}{x(x + 5)}
\]

\[
\frac{x-25}{x^2 + 5x} = \frac{x-25}{x(x + 5)}
\]

Ghép lại, ta có:

\[
\frac{x^2 - 25 + x^2 - 3x}{x(x + 5)} = \frac{x - 25}{x(x + 5)}
\]

Rút gọn bên trái:

\[
\frac{2x^2 - 3x - 25}{x(x + 5)} = \frac{x - 25}{x(x + 5)}
\]

Vì mẫu số giống nhau (điều kiện x ≠ 0 và x ≠ -5), ta có thể bỏ qua mẫu số và chỉ cần xét:

\[
2x^2 - 3x - 25 = x - 25
\]

Chuyển mọi hạng tử về một phía:

\[
2x^2 - 3x - x - 25 + 25 = 0
\]

Rút gọn lại:

\[
2x^2 - 4x = 0
\]

Tách nhân:

\[
2x(x - 2) = 0
\]

Từ đây ta có nghiệm:

x = 0 hoặc x = 2.

Bây giờ, chúng ta cần kiểm tra xem nghiệm nào hợp lệ với điều kiện của bài toán.

- Khi x = 0: Mẫu trong phân số không xác định, vì vậy không hợp lệ.
- Khi x = 2: Chúng ta kiểm tra xem nó có làm cho các phân số hợp lệ không.

Chúng ta đã tìm thấy nghiệm:

x = 2.

2. Phương trình thứ hai: \( \frac{x+7}{x-7} - \frac{7}{x^2 - 7x} = \frac{1}{x} \)

Trước tiên, biến đổi mẫu số trong phân số thứ hai:

Mẫu số \( x^2 - 7x = x(x - 7) \).

Sử dụng mẫu chung là \( x(x - 7) \):

Biến đổi phân số:

\[
\frac{x+7}{x-7} = \frac{(x + 7)x}{(x - 7)x} = \frac{x^2 + 7x}{x(x - 7)}
\]

Và:

\[
\frac{7}{x^2 - 7x} = \frac{7}{x(x - 7)}
\]

Nên phương trình trở thành:

\[
\frac{x^2 + 7x - 7}{x(x - 7)} = \frac{1}{x}
\]

Rút gọn bên trái, khi đã có cùng mẫu:

\[
\frac{x^2 + 7x - 7}{x(x - 7)} = \frac{1}{x}
\]

Bỏ mẫu \( x \) (chỉ với điều kiện \( x \neq 0 \)):

\[
x^2 + 7x - 7 = x - 7
\]

Chuyển mọi hạng tử về một phía:

\[
x^2 + 7x - x - 7 + 7 = 0
\]

Rút gọn lại:

\[
x^2 + 6x = 0
\]

Tách nhân:

\[
x(x + 6) = 0
\]

Từ đây ta có nghiệm:

x = 0 hoặc x = -6.

Kiểm tra điều kiện:

- Khi x = 0: Mẫu trong phân số không xác định, không hợp lệ.
- Khi x = -6: Chúng ta kiểm tra các phân số:

Thì x = -6 hợp lệ.

Kết quả cuối cùng:

Nghiệm cho phương trình đầu tiên là x = 2.
Nghiệm cho phương trình thứ hai là x = -6.