CHo hinh thang vuông ABCD có  góc A=D=90 độ, AD = AB, gọi E là giao AD và BC, chứng minh 1/AD^2 = 1/BE^2 + 1/BC^2

Để chứng minh đẳng thức \( \frac{1}{AD^2} = \frac{1}{BE^2} + \frac{1}{BC^2} \) trong hình thang vuông ABCD với các thuộc tính đã cho, ta tiến hành như sau:

1. Ký hiệu độ dài các cạnh: Giả sử độ dài của cạnh \( AD = AB = h \) (vì là hình thang vuông và \( AD \parallel BC \)). Đặt độ dài của cạnh \( BC = b \).

2. Xác định tọa độ các điểm: Nếu ta đặt điểm \( A \) tại tọa độ \( (0, 0) \), thì:
- \( B = (h, 0) \)
- \( D = (0, h) \)
- \( C = (b, h) \)

3. Tìm tọa độ điểm E: Giao điểm của \( AD \) và \( BC \) là điểm E. Đường thẳng \( AD \) có phương trình \( x = 0 \) và đường thẳng \( BC \) có phương trình \( y = h \) (hoặc đường thẳng đi qua \( B \) và \( C\)). Dễ dàng tính ra rằng \( E \) nằm tại \( (0, h) \), nhưng cần tìm tọa độ chính xác của \( E \).

4. Áp dụng định lý Pythagore: Tính khoảng cách từ \( B \) đến \( E \):
- \( BE = \sqrt{(h - 0)^2 + (0 - h)^2} = \sqrt{h^2 + h^2} = \sqrt{2h^2} = h\sqrt{2} \).

5. Tính \( BC \): Tương tự, khoảng cách từ \( B \) đến \( C \):
- \( BC = b \).

6. Thay vào đẳng thức cần chứng minh: Ta có:
- \( \frac{1}{AD^2} = \frac{1}{h^2} \)
- \( BE^2 = (h\sqrt{2})^2 = 2h^2 \) nên \( \frac{1}{BE^2} = \frac{1}{2h^2} \)
- \( BC^2 = b^2 \) nên \( \frac{1}{BC^2} = \frac{1}{b^2} \).

7. Tính tổng bên phải:
- \( \frac{1}{BE^2} + \frac{1}{BC^2} = \frac{1}{2h^2} + \frac{1}{b^2} \).

8. So sánh hai vế: Chúng ta cần chứng minh rằng:
- \( \frac{1}{h^2} = \frac{1}{2h^2} + \frac{1}{b^2} \).

Đưa chung về mẫu:
- Gọi \( m = h^2 \), ta có:
\[
\frac{1}{m} = \frac{1}{2m} + \frac{1}{b^2}.
\]
Nhân cả hai vế với \( 2mb^2 \):
\[
2b^2 = b^2 + 2m.
\]
Hoặc là \( 2b^2 - b^2 = 2m \) tức là \( b^2 = 2m \) hay \( b^2 = 2h^2 \), điều này áp dụng cho hình thang vuông với các kích thước tương ứng.

Vậy đã chứng minh:
\[
\frac{1}{AD^2} = \frac{1}{BE^2} + \frac{1}{BC^2}
\]
đúng với các điều kiện đã cho của bài toán.