Chứng minh giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc giá trị của biến x (x^2-5x+4)(2x+3)-2x^2-x-10)(x-3)

Để chứng minh giá trị của biểu thức \( (x^2 - 5x + 4)(2x + 3) - (2x^2 + x - 10)(x - 3) \) không phụ thuộc vào giá trị của biến \( x \), chúng ta sẽ tiến hành đơn giản hóa biểu thức này.

Bước 1: Tính giá trị của từng phần trong biểu thức.

1. Tính \( (x^2 - 5x + 4)(2x + 3) \):
- Đầu tiên, ta có:
\( x^2 - 5x + 4 = (x - 1)(x - 4) \)
nên \( x^2 - 5x + 4 \) có nghiệm là \( x = 1 \) và \( x = 4 \).

- Tính \( (x^2 - 5x + 4)(2x + 3) \):
\( (x^2 - 5x + 4)(2x + 3) = 2x^3 + 3x^2 - 10x^2 - 15x + 8x + 12 \)
\( = 2x^3 - 7x^2 - 7x + 12 \).

2. Tính \( (2x^2 + x - 10)(x - 3) \):
- Tính \( 2x^2 + x - 10 \):
Ta sẽ không phân tích nghiệm của biểu thức này mà tính trực tiếp:
\( (2x^2 + x - 10)(x - 3) = 2x^3 - 6x^2 + x^2 - 3x - 10x + 30 \)
\( = 2x^3 - 5x^2 - 13x + 30 \).

Bước 2: Kết hợp hai phần biểu thức trên:
\( (2x^3 - 7x^2 - 7x + 12) - (2x^3 - 5x^2 - 13x + 30) = -7x^2 + 5x^2 + 6x + 12 - 30 \).

Ta có:
\( = -2x^2 + 6x - 18 \).

Bước 3: Tính giá trị này:
Biểu thức này có thể viết lại dưới dạng:
\( -2(x^2 - 3x + 9) \).

Bước 4: Xét xem biểu thức có phụ thuộc vào x hay không:
Để chứng minh, ta tính nghiệm của phương trình bậc hai trong biểu thức:
\( x^2 - 3x + 9 \) luôn dương với mọi x, vì:
- Đ disc = b^2 - 4ac = 3^2 - 419 = 9 - 36 = -27 < 0.
Vì vậy, nó không có nghiệm thực.

Kết luận: Do \( -2(x^2 - 3x + 9) \) luôn có giá trị âm và không phụ thuộc vào x, mà chỉ phụ thuộc vào các hệ số trong biểu thức ban đầu, ta đã chứng minh rằng giá trị của biểu thức \( (x^2 - 5x + 4)(2x + 3) - (2x^2 + x - 10)(x - 3) \) không phụ thuộc vào giá trị của biến \( x \).