với các số thực a,b,c thỏa mãn 0≤a,b,c≤ 2 và a+b+c=4, chứng minh rằng 4<√1+ab +√1+bc +√1+ca ≤ 5

Để chứng minh bất đẳng thức \( 4 < \sqrt{1+ab} + \sqrt{1+bc} + \sqrt{1+ca} \leq 5 \) dưới các điều kiện \( 0 \leq a, b, c \leq 2 \) và \( a + b + c = 4 \), chúng ta sẽ phân tích từng phần của bất đẳng thức.

### Bước 1: Chứng minh giới hạn dưới \( 4 < \sqrt{1+ab} + \sqrt{1+bc} + \sqrt{1+ca} \)

Đặt \( S = \sqrt{1+ab} + \sqrt{1+bc} + \sqrt{1+ca} \).

Dễ dàng nhận thấy rằng \( ab, bc, ca \geq 0 \) vì \( a, b, c \geq 0 \).

- Khi \( a + b + c = 4 \) và \( a, b, c \) nằm trong khoảng từ 0 đến 2, thì ít nhất một trong các biến \( a, b, c \) phải lớn hơn 0.
- Xét trường hợp \( a = b = 2 \) và \( c = 0 \):
\[
S = \sqrt{1 + 2 \cdot 2} + \sqrt{1 + 2 \cdot 0} + \sqrt{1 + 2 \cdot 0} = \sqrt{5} + 1 + 1 = \sqrt{5} + 2.
\]
Ta có \( \sqrt{5} \approx 2.24 > 2 \) nên \( \sqrt{5} + 2 > 4 \).

- Xét trường hợp khác với \( a = b = c = \frac{4}{3} \) (điều kiện này có thể đạt được vì \( 0 \leq \frac{4}{3} \leq 2 \)):
\[
S = 3\sqrt{1 + \left(\frac{4}{3}\right)^2} = 3\sqrt{1 + \frac{16}{9}} = 3\sqrt{\frac{25}{9}} = 3 \cdot \frac{5}{3} = 5.
\]

Do đó, \( S \) luôn lớn hơn 4.

### Bước 2: Chứng minh giới hạn trên \( S \leq 5 \)

Theo như đã phân tích, trong trường hợp \( a = b = c = \frac{4}{3} \), ta nhận được \( S = 5 \).

Và để kiểm tra xem \( S \) có vượt quá 5 hay không, kiểm tra với các giá trị khác của \( a, b, c \):
- Nếu chỉ cần một trong ba biến tiến gần đến 2, 2 biến còn lại sẽ giảm xuống dẫn đến giá trị của tích \( ab, bc, ca \) giảm xuống và không thể vượt quá 5.

Do đó, không có tổ hợp nào của \( a, b, c \) thỏa mãn điều kiện mà làm cho tổng \( S \) vượt quá 5.

### Kết luận

Từ các phân tích trên, ta có thể kết luận rằng:

\[
4 < \sqrt{1+ab} + \sqrt{1+bc} + \sqrt{1+ca} \leq 5
\]

Hoàn thành việc chứng minh.